高校数学（２・Ｂ）の問題演習
令和6年3月2日
対数の利用
※（ ）内の大学の入試問題です。（すべて半角で入力すること）
（１）ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある。「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする。この装置のボタンを20回押したとき、1回以上「あたり」の出る確率は36％である。1回以上「あたり」の出る確率が90％以上となるためには、この装置のボタンを最低何回押せばよいか。必要なら\( 0.3010＜\log_{10} 2＜0.3011 \)を用いてよい。
（京都大）
（２）1から16までの数字が重複なく1つずつ書かれた16枚のカードを、よくきって、横1列に並べるとき、左端から1，2，3，……，16と数の小さい順に並ぶ確率を$p$とする。また、$n$個のさいころを同時に投げるとき、出る目すべてが1になる確率を$q$とする。このとき、次の問いに答えよ。ただし、\( \log_{10} 2 \) = 0.301，\( \log_{10} 3 \) = 0.477，\( \log_{10} 7 \) = 0.845，\( \log_{10} 11 \) = 1.041，\( \log_{10} 13 \) = 1.114とする。
（和歌山大）
① \( \log_{10} p \)の値を求めよ。
② \( q＜p \)となる最小の$n$を求めよ。
（３）ある工場においてこれまで人手で行っていた作業を機械化することを検討している。この工作機を導入するのに300万円の費用が必要となり、全額を銀行から1年ごとの複利で年利10％の借り入れを行い、5年後に元利合計を一括返済する予定である。また、この工作機を導入するとこれまで手作業に従事していた1名のアルバイト従業員を雇用する必要がなくなるという。このアルバイト従業員の年間給与は毎年初めに前年の給与に対して5％の割合で昇給をしてきており、工作機を導入しようとする年の年間給与は150万円になる予定である。なお、銀行からの資金の借り入れおよび工作機の導入、アルバイト従業員の雇用の終了は、年の初めに同時期に行うものとする。ただし、\( \fbox{ソ} \)は指数表記を用いずに値を求め、\( \fbox{テ} \)と\( \fbox{ト} \)は小数第3位を四捨五入し小数第2位まで求めること。また、必要に応じて常用対数表を用いよ。
（立命館大）
① 5年後に銀行へ一括返済する総返済額は元利合計で\( \fbox{ソ} \)円となる。
② 工作機導入後もアルバイト従業員を雇用し続けたと仮定した場合のアルバイト従業員への給与累計額が、工作機導入により削減できる人件費とする。工作機導入から経過した年数を$n$年とし、削減できる人件費を$f(n)$万円とすると、
\( f(n) = \fbox{タ}\left(\fbox{チ}^{(\fbox{ツ})}-1\right) \)となる。
③ 投資効果を検討するために、削減できる人件費が銀行への総返済額を上回る年数を求めたい。銀行への総返済額を$X$万円とすると、$f(n)＞X$を満たす$n$を求めればよい。$f(n)＞X$を整理すると\( \fbox{チ}^{(\fbox{ツ})}＞\fbox{テ} \)となる。両辺の常用対数をとり整理すると\( n＞\fbox{ト} \)となる。この条件を満たす$n$の最小の整数は\( \fbox{ナ} \)である。
令和5年11月26日
確率と漸化式
※（ ）内の大学の入試問題を参考に作られています。（すべて半角で入力すること）
（１）ある食堂はランチとしてA定食かB定食のいずれか一方を提供する。A定食を提供した次の営業日は等しい確率でA定食かB定食のどちらかを提供し、B定食を提供した次の営業日は必ずA定食を提供する。1日目にはA定食を提供することがわかっているとする。
（上智大）
① 3日目にA定食が提供されている確率は\( \displaystyle \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \)である。
② $n$日目にA定食が提供される確率は
\( \displaystyle \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}\left(\left(\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}}\right)^{n-1}+\fbox{ト}\right) \)
である。ただし$n$は1以上の整数とする。
（２）正四面体の各頂点を$A_1$，$A_2$，$A_3$，$A_4$とする。ある頂点にいる動点Xは、同じ頂点にとどまることなく、1秒ごとに他の3つの頂点に同じ確率で移動する。Xが$A_i$に$n$秒後に存在する確率を$P_i(n)$（$n$ = 0，1，2，…）で表す。
\( \displaystyle P_1(0) = \frac{1}{4} \)，\( \displaystyle P_2(0) = \frac{1}{2} \)，\( \displaystyle P_3(0) = \frac{1}{8} \)，\( \displaystyle P_4(0) = \frac{1}{8} \)
とするとき、$P_1(n)$と$P_2(n)$（$n$ = 0，1，2，…）を求めよ。
（東京大）
令和5年8月20日
円と接線の方程式
※早稲田大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 不等号は全角で入力し、それ以外の数字や記号は半角で入力すること。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。マイナスがつく分数は、分子の前に半角の-をつけて-2/5などのように入力すること。
- 範囲などの条件が複数ある場合は「●●または△△」のように「または」でつなぐこと。
次の2つの円\( x^2+y^2 = 1 \)…①，\( x^2+y^2-2kx+3k = 0 \)…②について、次の問いに答えよ。ただし、$k$は定数とする。
（１）②が円の方程式を表すための$k$の値の範囲を求めよ。
（２）更に、円①，②が異なる2つの共有点をもつとき、$k$の値の範囲を求めよ。
（３）$k = 4$のとき、円①，②の共通接線の方程式をすべて求めよ。
令和5年5月21日
面積公式の利用
※東北大学の入試問題です。
3次曲線\( y = x^3-3x \)を$C_1$とする。$a$を正の実数とし、$C_1$を$x$軸方向へ$a$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする。
（１）$C_1$と$C_2$が異なる2点で交わるような$a$の範囲を求めよ。また、このとき$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ。
（２）$a$が（１）の範囲を動くとき、面積$S(a)$の最大値を求めよ。（半角のみで入力し、答えが分数の場合は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること）
令和5年2月12日
三角関数の合成
※大阪市立大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 答えに根号が必要な場合は、たとえば「ルート3」なら√3のように√を使って入力し、それ以外は半角で入力すること。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら[1]/[4]のように、(分子)/(分母)の形でそれぞれ[ ]で囲って入力すること。
- 答えが分数を含む式になる場合、一つの分数にまとめた形にすること。（\( \displaystyle \frac{▲}{●}+\frac{■}{●} \)のように分けるのではなく、\( \displaystyle \frac{▲+■}{●} \)のような形にすること）
座標平面上の3点\( P(x,y) \)（$x＞0$，$y＞0$），\( A(a,0) \)（$a＞0$），\( B(0,b) \)（$b＞0$）は、\( PA = PB = 1 \)をみたすものとする。$O$を原点とし、線分$OA$，$AP$，$PB$，$BO$で囲まれた図形の面積を$S$とする。次の問いに答えよ。
（１）$∠APB$を固定して3点$P$，$A$，$B$を動かす。$S$が最大となるとき、$x = y$かつ$a = b$であることを示せ。
（２）$∠APB$を固定せず、条件$x = y$かつ$a = b$のもとで3点$P$，$A$，$B$を動かす。このとき、$S$の最大値を求めよ。