この問題のポイント
2次式について、「ここからここまでの区間の積分をする」となったときは公式が使える!
(1)まず、C2の方程式について、C1をx軸方向へaだけ平行移動したので、
y=(x−a)3−3(x−a)とおけます。
このグラフとC1が異なる2点で交わるならば、
(x−a)3−3(x−a)=x3−3x
x3−3ax2+3a2x−a3−3x+3a=x3−3x
−3ax2+3a2x−a3+3a=0
a≠0より、3x2−3ax+a2−3=0 …①
この方程式が異なる2つの解を持つこととなります。
よって、この方程式の判別式D=(−3a)2−4・3・(a2−3)>0
9a2−12a2+36>0
−3a2+36>0
a2−12<0
−2√3<a<2√3
ただし、問題文よりa>0なので、求めるaの範囲は0<a<2√3です。

次に、面積S(a)についてです。面積は(上のグラフ)-(下のグラフ)の定積分を計算すれば求めることができますね?右の図より、この問題では上のグラフは青い曲線のC2で、下のグラフは黒い曲線のC1です。図のように、C1とC2の2つの交点のx座標をそれぞれα,β(α<β)とおくとします。①の方程式をxについて解くと、
x=−(−3a)±√(−3a)2−4・3・(a2−3)2・3
x=3a±√−3a2+366=3a±√36−3a26
よって、α=3a−√36−3a26,β=3a+√36−3a26ですが、この値を使って積分の計算をするのはとても大変です。そこで、この公式を使うことにしましょう。
●x2+▲x+■の形の式(つまり二次式)が(x−α)(x−β)に因数分解でき、さらにそのαとβの区間で積分するとき、
∫βα(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3
これを使うと、今回の問題のような、ややこしい積分の計算がとても簡単になります。また、大学入試ではこの公式を利用しないと解くことが困難な問題も見受けられるので、必ずこの公式はマスターしておきましょう。
今回の問題について、
β−α
=3a+√36−3a26−3a−√36−3a26
=3a+√36−3a2−(3a−√36−3a2)6
=2√36−3a26
=√36−3a23
これより、
S(a)
=∫βα{(x−a)3−3(x−a)−(x3−3x)}dx
=∫βα{x3−3ax2+3a2x−a3−3x+3a−(x3−3x)}dx=∫βα{x3−3ax2+3a2x−a3−3x+3a −(x3−3x)}dx
=∫βα(−3ax2+3a2x−a3+3a)dx
=−3a∫βα(x−α)(x−β)dx
=−3a・{−16(β−α)3}
=12a・(√36−3a23)3
=12a・(√3(12−a2)3)3
=12a・3√3√(12−a2)327
=√318a√(12−a2)3
(別解)
β−αの値について、方程式①を直接解いてαとβの値を求めて計算するという方法で上では解きましたが、方程式を解かずに解と係数の関係を使って求めるという方法もあります。
方程式①について、解と係数の関係より、
α+β=−−3a3=a
αβ=a2−33
よって、
(β−α)2
=β2−2αβ+α2
=α2+β2−2αβ
=(α+β)2−2αβ−2αβ
=(α+β)2−4αβ
=a2−4・a2−33
=3a2−4(a2−3)3
=12−a23
2つの交点のx座標をα,βとしたときにα<βとしたので、β−α>0なので、
β−α
=√12−a23
=√12−a2√3
=√3√12−a23
=√36−3a23
あとはさっきのように、S(a)を求める過程で面積公式を使うときに、β−αのこの値を代入すれば同じように求まります。
(2)S(a)=√318a√(12−a2)3と求まりましたが、文字が根号(ルート)の中にあるものと外にあるものが混在しているので、全部根号の中にひとまず入れます。
すると、S(a)=√318√a2(12−a2)3とおけます。
根号の中の最大値を考えればよいことになりますが、ふつうにaについての関数として見て展開していくと5乗などになるものも出てしまい、最大値を考えることができなくなってしまいます。そこで、12−a2=tとおいてみましょう。すると、a2=12−tですから、S(a)=√318√(12−t)t3とおけます。
ここで、根号の中身だけ取り出してf(t)=(12−t)t3とおきます。f(t)=12t3−t4なので、
f′(t)=36t2−4t3=4t2(9−t)
そして、tの範囲については、(1)より0<a<2√3なので、
0<a2<12のため、−12<−a2<0
これより、0<−a2+12<12とわかるので、0<t<12です。
この範囲で増減表を書くと、このようになりますね。
t | 0 | … | 9 | … | 12 |
f′(t) | 0 | + | 0 | - | |
f(t) | 0 | ↗ | ↘ |
この増減表より、t=9のときに最大値をとるとわかります。そのときのS(a)の値は、
S(a)
=√318√f(9)
=√318√(12−9)・93
=√318・27√3
=92
答え.
(1)aの範囲は0<a<2√3,S(a)=√318a√(12−a2)3
(2)92