高校数学（２・Ｂ）の問題演習
令和4年11月6日
さまざまな期待値・分散
※（ ）内の大学の入試問題を参考に作られています。（すべて半角で入力すること）
※入力は次の指示にしたがってください。
- 半角のみで入力すること。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら[1]/[4]のように、(分子)/(分母)の形でそれぞれ[ ]で囲って入力すること。文字の係数が分数の場合、xの係数が4分の1なら[x]/[4]、yの係数が5分の3なら[3y]/[5]のように、分子部分に文字を含めること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。
（１）確率変数$X$は$n$個の値1，3，5，……，$2n-1$をとるものとする。$X$がそれぞれの値を等しい確率でとるとき、$2X+3$の平均および分散を求めよ。
（茨城大）
（２）$X$，$Y$はどちらも1，-1の値をとる確率変数で、それらは
\( \small{P(X=1,Y=1) = P(X=-1,Y=-1) = a} \)
\( \displaystyle \small{P(X=1,Y=-1) = P(X=-1,Y=1) = \frac{1}{2}-a} \)
を満たしているとする。ただし、$a$は\( \displaystyle 0≦a≦\frac{1}{2} \)を満たす定数とする。
（千葉大）
① 確率\( P(X=-1) \)と\( P(X=1) \)を求めよ。
② 2つの確率変数の和の期待値\( E(X+Y) \)と分散\( V(X+Y) \)を求めよ。
③ $X$と$Y$が互いに独立であるための$a$の値を求めよ。
（３）赤球$a$個，青球$b$個，白球$c$個合わせて100個入った袋がある。この袋から無作為に1個の球を取り出し、色を調べてからもとに戻す操作を$n$回繰り返す。このとき、赤球を取り出した回数を$X$とする。$X$の分布の平均が\( \displaystyle \frac{16}{5} \)，分散が\( \displaystyle \frac{64}{25} \)であるとき、袋の中の赤球の個数$a$および回数$n$の値を求めよ。
（鹿児島大）
令和4年8月15日
二項定理
※（ ）内の大学の入試問題を参考に作られています。（すべて半角で入力すること）
※入力は次の指示にしたがってください。
- 半角で入力すること。ただし、「かける（×）」をあらわす「・」を入力するときは、それのみ全角でよい。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら[1]/[4]のように、(分子)/(分母)の形でそれぞれ[ ]で囲って入力すること。文字の係数が分数の場合、xの係数が4分の1なら[x]/[4]、yの係数が5分の3なら[3y]/[5]のように、分子部分に文字を含めること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。「aの(n-1)乗」ならa^[n-1]のように、「○乗」の部分（指数）が文字式ならば[ ]で囲って入力すること。
次の🄰・🄱のそれぞれの問いに答えなさい。
🄰 次の問に答えよ。
（大分大）
（１）正の整数$n$について、\( \displaystyle \left(x+\frac{1}{x}\right)^n \)の展開式に定数項が含まれるための条件を求めよ。
（２）\( \displaystyle \left(x+1+\frac{1}{x}\right)^7 \)の展開式における定数項を求めよ。
🄱 正の整数$n$に対して、
\( \displaystyle a_n = \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k \)，\( \displaystyle b_n = \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_kk \)，\( \displaystyle c_n = \sum_{k=0}^n \frac{{}_n \mathrm{C}_k}{k+1} \)
とする。
（千葉大）
（１）$a_n$を求めよ。
（２）$b_n$を求めよ。
（３）$c_n$を求めよ。
令和4年5月8日
線分の中点の軌跡
※早稲田大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら[1]/[4]のように、(分子)/(分母)の形でそれぞれ[ ]で囲って入力すること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。
$xy$平面上の点\( (2,t) \)を中心として、2点\( O(0,0) \)，\( A(4,0) \)を通る円$C_1$が、円$C_2$：\( x^2+y^2 = 4 \)と交わる点を$P$，$Q$とする。
（１）直線$PQ$が、$t$の値にかかわらず通る定点を求めよ。
（２）線分$PQ$の中点$R$の座標を$t$で表せ。
（３）$t$が実数の範囲で動くときの$R$の軌跡を求め、$xy$平面に図示せよ。
令和4年1月23日
対数の性質
※（ ）内の大学の入試問題を参考に作られています。
（１）\( \log_{10} 2 = a \)，\( \log_{10} 3 = b \)とするとき、\( \log_{10} 72 \)，\( \log_{12} \sqrt[3] {96} \)を$a$，$b$を用いて表せ。
（西南学院大）
（２）\( 5^a = 2 \)，\( 5^b = 3 \)とするとき、\( \log_{5} 72 \)，\( \log_{5} {1.35} \)を$a$，$b$で表せ。
（大阪電気通信大）
（３）\( a＞b＞0 \)とする。\( 2\log_{10} (a+2b) = \log_{10} a+\log_{10} b+1 \)のとき、\( \displaystyle \frac{a}{b} \)，\( \displaystyle \frac{a^2}{a^2+2b^2} \)の値を求めよ。
（福岡大）
（４）\( 2^x = 3^y = 24^z = \sqrt[4] {6} \)を満たす$x$，$y$，$z$に対して、
\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \fbox{ア} \)，\( \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z} = \fbox{イ} \)が成り立つ。
（近畿大）
令和3年10月24日
数列の和と一般項
※大阪市立大学の入試問題です。
数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
\( \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}b_n = a_n+2a_{n-1}+3a_{n-2}+…+na_1 \)（$n$ = 1，2，3，…）
という関係を満たしているとする。
（１）$n$は2以上の自然数とするとき、\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \)を$n$，$b_n$，$b_{n-1}$を用いて表せ。
（２）$\{b_n\}$が初項$b_1 = p$，公差$q$の等差数列であるとき、$a_n$を$n$，$p$，$q$を用いて表せ。（半角のみで入力すること）