高校数学（２・Ｂ）の問題演習
円の方程式
※防衛医科大学校の入試問題です。
座標平面上に、原点$O$を中心とする半径5の円$C$，点\( A(0,7) \)，点\( B(1,6) \)が与えられている。点\( P(α,β) \)を中心とし、2点$A$，$B$を通る円を\( C(P) \)として、以下の問に答えよ。
（１）$α$，$β$の満たすべき条件を求めよ。
（２）2円$C$，\( C(P) \)が共有点をもつための条件を$α$のみを用いて表せ。（$α$の記号と不等号は全角で、それ以外は半角で入力すること。条件が複数ある場合は「●●または△△」のように「または」でつなぐこと。）
指数の拡張
※2015（平成27）年のセンター試験の問題です。（すべて半角で入力すること）
$a$，$b$を正の実数とする。連立方程式
(＊)\(\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{y^3} = a\\\sqrt[3] {x}y = b\end{array}\right.\)
を満たす正の実数$x$，$y$について考えよう。
（１）連立方程式(＊)を満たす正の実数$x$，$y$は
\( x = a^{\fbox{ス}}b^{\fbox{セソ}} \)，\( y = a^pb^{\fbox{タ}} \)
となる。ただし
\( \displaystyle p = \frac{\fbox{チツ}}{\fbox{テ}} \)
である。
（２）\( b = 2\sqrt[3] {a^4} \)とする。$a$が$a＞0$の範囲を動くとき、連立方程式(＊)を満たす正の実数$x$，$y$について、$x+y$の最小値を求めよう。
\( b = 2\sqrt[3] {a^4} \)であるから、(＊)を満たす正の実数$x$，$y$は、$a$を用いて
\( x = 2^{\fbox{セソ}}a^{\fbox{トナ}} \)，\( y = 2^{\fbox{タ}}a^{\fbox{ニ}} \)
と表される。したがって、相加平均と相乗平均の関係を利用すると、$x+y$は\( a = 2^q \)のとき最小値\( \sqrt{\fbox{ヌ}} \)をとることがわかる。ただし
\( \displaystyle q = \frac{\fbox{ネノ}}{\fbox{ハ}} \)
である。
等差数列と等比数列
※2006（平成18）年のセンター試験の問題を参考に作られています。（すべて半角で入力すること）
$a$，$b$，$c$を相異なる実数とする。数列$\{x_n\}$は等差数列で、最初の3項が順に$a$，$b$，$c$であるとし、数列$\{y_n\}$は等比数列で、最初の3項が順に$c$，$a$，$b$であるとする。
（１）$b$と$c$は$a$を用いて
\( \displaystyle b = \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}}a \)，\( c = \fbox{エオ}a \)
と表され、等差数列$\{x_n\}$の公差は\( \displaystyle \frac{\fbox{カキ}}{\fbox{ク}}a \)である。
（２）等比数列$\{y_n\}$の公比は\( \displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}} \)であるから、$\{y_n\}$の初項から第8項までの和は、$a$を用いて
\( \displaystyle \frac{\fbox{ケコサ}}{\fbox{シス}}a \)
と表される。
（３）数列$\{z_n\}$は最初の3項が順に$b$，$c$，$a$であり、その階差数列$\{w_n\}$が等差数列であるとする。このとき、$\{w_n\}$の公差は\( \displaystyle \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}a \)であり、$\{w_n\}$の一般項は
\( \displaystyle w_n = \frac{\fbox{タ}n-\fbox{チツ}}{\fbox{テ}}a \)
である。
積分と微分の関係
※2018（平成30）年のセンター試験の問題です。（すべて半角で入力すること）
関数$f(x)$は$x≧1$の範囲でつねに$f(x)≦0$を満たすとする。$t＞1$のとき、曲線$y = f(x)$と$x$軸および2直線$x = 1$，$x = t$で囲まれた図形の面積を$W$とする。$t$が$t＞1$の範囲を動くとき、$W$は、底辺の長さが\( 2t^2-2 \)，他の2辺の長さがそれぞれ\( t^2+1 \)の二等辺三角形の面積とつねに等しいとする。このとき、$x＞1$における$f(x)$を求めよう。
$F(x)$を$f(x)$の不定積分とする。一般に、\( F'(x) = \fbox{ツ} \)，\( W = \fbox{テ} \)が成り立つ。ツ，テに当てはまるものを、次の[0]～⑧のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。
[0] $-F(t)$ ① $F(t)$
② $F(t)-F(1)$ ③ $F(t)+F(1)$
④ $-F(t)+F(1)$ ⑤ $-F(t)-F(1)$
⑥ $-f(x)$ ⑦ $f(x)$
⑧ $f(x)-f(1)$
したがって、$t＞1$において
\( f(t) = \fbox{トナ}t^{\fbox{ニ}}+\fbox{ヌ} \)
である。よって、$x＞1$における$f(x)$がわかる。
解と係数の関係と整数解
※名古屋大学の入試問題です。
$a$，$b$は$a≧b＞0$を満たす整数とし、$x$と$y$の2次方程式
\( x^2+ax+b = 0 \)，\( y^2+by+a = 0 \)
がそれぞれ整数解をもつとする。
（１）$a = b$とするとき、条件を満たす整数$a$の値をすべて求めよ。（半角のみで入力すること）
（２）$a＞b$とするとき、条件を満たす整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。（記号も含めすべて半角で(3,8)のような形で入力すること）