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この問題のポイント

$f(x)$を積分するということは、微分したら$f(x)$になる関数は何かを探すということです。なので、$f(x)$を積分して微分すると、また$f(x)$になるということであり、もっと簡単にいうと、微分と積分は逆の関係になっているということになります。

$F(x)$は$f(x)$を積分して求まった関数です。ということは、これを微分したらもとの関数にもどるんですから、$F'(x) = f(x)$となります。

$W$は$t＞1$での$y = f(x)$，$x$軸（つまり$y = 0$），$x = 1$，$x = t$で囲まれた部分の面積です。$x≧1$の範囲ではつねに$f(x)≦0$ということは、つまり$f(x)$は$x$軸上か$x$軸より下にあるかということです。（上のグラフ）－（下のグラフ）を積分すれば面積が求まるんですから、

$$\begin{eqnarray} &&\int_1^t \{0-f(x)\}dx\\ &&= \int_1^t -f(x)dx\\ &&= -\int_1^t f(x)dx\\ &&= -\left[F(x)\right]_1^t\\ &&= -{F(t)-F(1)}\\ \end{eqnarray}$$

これより、$W = -F(t)+F(1)$です。

$W$は右の図にある二等辺三角形の面積とつねに等しいので、その面積を考えます。底辺は$2t^2-2$とわかっていますが、高さがわからないのでそれを$h$として求めることにすると、三平方の定理より、

$(t^2-1)^2+h^2 = (t^2+1)^2$
$t^4-2t^2+1+h^2 = t^4+2t^2+1$
$h^2 = 4t^2$
$h＞0$，$t＞1$ですから、$h = 2t$

$\small{(t^2-1)^2+h^2 = (t^2+1)^2}$
$\small{t^4-2t^2+1+h^2 = t^4+2t^2+1}$
$\small{h^2 = 4t^2}$
$h＞0$，$t＞1$ですから、$h = 2t$

よって、面積は
$\displaystyle \frac{1}{2}・(2t^2-2)・2t$
$= 2t^3-2t$

これが$W$、つまり$-F(t)+F(1)$と等しいんですから、
$-F(t)+F(1) = 2t^3-2t$　…A

さて、この問題では、最後に$f(t)$を求めなければなりませんが、$F(t)$は$f(t)$を積分して求まる関数です。ということは、$f(t)$を求めるには、$F(t)$を微分しなければなりませんね。よって、Aの式を微分すると、$f(t)$を求めることができます。

Aの式にある$F(1)$ですが、これは$t = 1$を代入した値になるわけですが、数値は微分すると0になりますから、Aの式を微分すると、
$-f(t) = 6t^2-2$
よって、$f(t) = -6t^2+2$

答え．
ツ　⑦　　　テ　④
トナ　-6　　　ニ　2　　　ヌ　2

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