高校数学（２・Ｂ）の問題演習（４ページ）

高校数学（２・Ｂ）の問題演習

ベクトルの分点および一次独立

※2018（平成30）年のセンター試験の問題です。（すべて半角で入力すること）

$a$ を $0＜a＜1$ を満たす定数とする。三角形 $ABC$ を考え、辺 $AB$ を1：3に内分する点を $D$ 、辺 $BC$ を $a：(1-a)$ に内分する点を $E$ 、直線 $AE$ と直線 $CD$ の交点を $F$ とする。 $\vec{FA} = \vec{p}$ ， $\vec{FB} = \vec{q}$ ， $\vec{FC} = \vec{r}$ とおく。

（１） $\vec{AB}$ = であり
$|\vec{AB}|^2 = |\vec{p}|^2-\fbox{イ}\vec{p}・\vec{q}+|\vec{q}|^2$ 　…①
である。ただし、アについては、当てはまるものを、次の[0]～③のうちから一つ選べ。

[0]　 $\vec{p}+\vec{q}$ 　　　①　 $\vec{p}-\vec{q}$
②　 $\vec{q}-\vec{p}$ 　　　③　 $-\vec{p}-\vec{q}$

（２） $\vec{FD}$ を $\vec{p}$ と $\vec{q}$ を用いて表すと
$\displaystyle \vec{FD} = \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}\vec{p}+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}\vec{q}$ 　…②
である。

（３） $s$ ， $t$ をそれぞれ $\vec{FD} = s\vec{r}$ ， $\vec{FE} = t\vec{p}$ となる実数とする。 $s$ と $t$ を $a$ を用いて表そう。

$\vec{FD} = s\vec{r}$ であるから、②により
$\vec{q} = \fbox{キク}\vec{p}+\fbox{ケ}s\vec{r}$ 　…③
である。

また、 $\vec{FE} = t\vec{p}$ であるから
$\displaystyle \vec{q} = \frac{t}{\fbox{コ}-\fbox{サ}}\vec{p}-\frac{\fbox{シ}}{\fbox{コ}-\fbox{サ}}\vec{r}$
である。

③と④により
$\displaystyle s = \frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}(\fbox{コ}-\fbox{サ})}$ ， $t = \fbox{タチ}(\fbox{コ}-\fbox{サ})$
である。

（４） $|\vec{AB}| = |\vec{BE}|$ とする。 $|\vec{p}| = 1$ のとき、 $\vec{p}$ と $\vec{q}$ の内積を $a$ を用いて表そう。
①により
$|\vec{AB}|^2 = 1-\fbox{イ}\vec{p}・\vec{q}+|\vec{q}|^2$
である。また
$|\vec{BE}|^2$
$= \fbox{ツ}(\fbox{コ}-\fbox{サ})^2+\fbox{テ}(\fbox{コ}-\fbox{サ})\vec{p}・\vec{q}+|\vec{q}|^2$
である。

したがって
$\displaystyle \vec{p}・\vec{q} = \frac{\fbox{トナ}-\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$
である。

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微分係数

※兵庫県立大学の入試問題です。

関数 $f(x)$ に対して関数 $g(x) = xf(x)$ を考える。次の問に答えなさい。

（１） $f(x)$ の導関数を $f'(x)$ とするとき、 $g(x)$ の導関数 $g'(x)$ は $g'(x) = xf'(x)+f(x)$ となることを、導関数の定義
$\displaystyle g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$
にしたがって証明しなさい。

（２） $g(x) = x^n$ （ $n$ は自然数）のとき、 $g'(x) = nx^{n-1}$ となることを数学的帰納法を用いて示しなさい。

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三角関数の性質

※2012（平成24）年のセンター試験の問題を参考に作られています。（すべて半角で入力すること）

$0≦α≦π$ として
$\sinα = \cos2β$
を満たす $β$ について考えよう。ただし、 $0≦β≦π$ とする。

たとえば、 $\displaystyle α = \frac{π}{6}$ のとき、 $β$ のとり得る値は $\displaystyle \frac{π}{\fbox{シ}}$ と $\displaystyle \frac{\fbox{ス}}{\fbox{シ}}π$ の二つである。

このように、 $α$ の各値に対して、 $β$ のとり得る値は二つある。そのうちの小さい方を $β_1$ ，大きい方を $β_2$ とし

$\displaystyle y = \sin\left(α+\frac{β_1}{2}+\frac{β_2}{3}\right)$

が最大となる $α$ の値とそのときの $y$ の値を求めよう。

$β_1$ ， $β_2$ を $α$ を用いて表すと、 $\displaystyle 0≦α＜\frac{π}{2}$ のときは

$\displaystyle β_1 = \frac{π}{\fbox{セ}}-\frac{α}{\fbox{ソ}}$ ，
$\displaystyle β_2 = \frac{\fbox{タ}}{\fbox{セ}}π+\frac{α}{\fbox{ソ}}$

となり、 $\displaystyle \frac{π}{2}≦α≦π$ のときは

$\displaystyle β_1 = -\frac{π}{\fbox{チ}}+\frac{α}{\fbox{ツ}}$ ，
$\displaystyle β_2 = \frac{\fbox{テ}}{\fbox{チ}}π-\frac{α}{\fbox{ツ}}$

となる。

したがって、 $\displaystyle α+\frac{β_1}{2}+\frac{β_2}{3}$ のとり得る値の範囲は
$\displaystyle \frac{\fbox{ト}}{\fbox{ナ}}π≦α+\frac{β_1}{2}+\frac{β_2}{3}≦\frac{\fbox{ニヌ}}{\fbox{ネ}}π$
である。よって、 $y$ が最大となる $α$ の値は $\displaystyle \frac{\fbox{ノ}}{\fbox{ハヒ}}π$ であり、そのときのyの値はフであることがわかる。フに当てはまるものを、次の[0]～③のうちから一つ選べ。

[0]　 $\displaystyle \frac{1}{2}$
①　1
②　 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
③　 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

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正規分布・信頼区間

※2015（平成27）年のセンター試験の問題を参考に作られています。（すべて半角で入力すること）

以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて下のリンクの正規分布表を用いてもよい。
また、小数の形で解答する場合、指定された桁（けた）数の一つ下の桁を四捨五入し、解答せよ。途中で割り切れた場合、指定された桁まで0を入力すること。

正規分布表

（１）確率変数 $Z$ が標準正規分布に従うとき
$P(-\fbox{タ}≦Z≦\fbox{タ}) = 0.99$
が成り立つ。タに当てはまる最も適切なものを、次の[0]～③のうちから一つ選べ。

[0]　1.64　　　①　1.96
②　2.33　　　③　2.58

（２）母標準偏差 $σ$ の母集団から、大きさ $n$ の無作為標本を抽出する。ただし、 $n$ は十分に大きいとする。この標本から得られる母平均 $m$ の信頼度（信頼係数）95％の信頼区間を $A≦m≦B$ とし、この信頼区間の幅 $L_1$ を $L_1 = B-A$ で定める。

この標本から得られる信頼度99％の信頼区間を $C≦m≦D$ とし、この信頼区間の幅 $L_2$ を $L_2 = D-C$ で定めると

$\displaystyle \frac{L_2}{L_1} = \fbox{チ}.\fbox{ツ}$

が成り立つ。また、同じ母集団から、大きさ $4n$ の無作為標本を抽出して得られる母平均 $m$ の信頼度95％の信頼区間を $E≦m≦F$ とし、この信頼区間の幅 $L_3$ を $L_3 = F-E$ で定める。このとき

$\displaystyle \frac{L_3}{L_1} = \fbox{テ}.\fbox{ト}$

が成り立つ。

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不等式の証明

※大阪大学の入試問題です。

実数 $x$ ， $y$ が $|x|≦1$ と $|y|≦1$ を満たすとき、不等式
$\small{0≦x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}≦1}$
が成り立つことを示せ。

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