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この問題のポイント

$\displaystyle α = \frac{π}{6}$のとき、$\displaystyle \sinα = \frac{1}{2}$

$0≦β≦π$ですから、$0≦2β≦2π$であり、$\cos2β$がこの値になるんですから、
$\displaystyle 2β = \frac{π}{3}，\frac{5}{3}π$
よって、$\displaystyle β = \frac{π}{6}，\frac{5}{6}π$

ここまでは具体的な角度が与えられていたので考えやすかったですが、ここからは角度は与えられていません。なので、このままだと考えにくいですから、$\sin$と$\cos$が混ざっているのを解消して、考えやすくしましょう。

三角関数の性質として、このようなものがありますね。

これを利用して、$\cos$だけに統一した式に書き換えると、
$\displaystyle \sinα = \cos\left(\frac{π}{2}-α\right) = \cos2β$

また、三角関数の方程式では、答えを一般角であらわすことができます。とくに角度の範囲が決まっていない場合に、そのあらわし方をしますが、一般角は$θ+2π×a$（$θ$は0から$2π$までの角度で書く。また、$a$は整数）です。

また、問題文にもあるとおり、$\cos$の方程式では解が2つ存在するのがふつうですから、一般角を使ってこの方程式を解くと、
$\displaystyle 2β = ±\left(\frac{π}{2}-α\right)+2π×a$

なので片方が$\displaystyle \left(\frac{π}{2}-α\right)+2π×a$　…A
もう片方が
$\displaystyle -\left(\frac{π}{2}-α\right)+2π×a = \left(α-\frac{π}{2}\right)+2π×a$　…Bですね。

ここで、問題文では$α$の角度によって場合分けして考えていましたから、それに沿って考えていくことにしましょう。

$\displaystyle 0≦α＜\frac{π}{2}$のとき、
$\displaystyle -\frac{π}{2}＜α≦0$
$\displaystyle 0＜\frac{π}{2}-α≦\frac{π}{2}$という角だとわかります。

そして、$β_1$も$β_2$も$0≦2β≦2π$の範囲にある角なんですから、その範囲からはみ出さない角度じゃないといけません。それを考えて$a$に代入できる整数を考えると、Aの角は
$\displaystyle 2β = \frac{π}{2}-α$（$a = 0$を代入）
$\displaystyle ∴β = \frac{π}{4}-\frac{α}{2}$

また、$\displaystyle 0≦α＜\frac{π}{2}$のとき、$\displaystyle -\frac{π}{2}≦α-\frac{π}{2}＜0$です。Aの角と同じようにして、Bの角も考えると、
$\displaystyle 2β = \left(α-\frac{π}{2}\right)+2π$（$a = 1$を代入）
$\displaystyle 2β = α+\frac{3}{2}π$
$\displaystyle ∴β = \frac{3}{4}π+\frac{α}{2}$

$\displaystyle 0≦α＜\frac{π}{2}$のとき、
$\displaystyle \left(\frac{3}{4}π+\frac{α}{2}\right)-\left(\frac{π}{4}-\frac{α}{2}\right) = \frac{π}{2}+α＞0$より、
$\displaystyle β_1 = \frac{π}{4}-\frac{α}{2}$，$\displaystyle β_2 = \frac{3}{4}π+\frac{α}{2}$です。

次に、$\displaystyle \frac{π}{2}≦α≦π$のときは
$\displaystyle -π≦-α≦-\frac{π}{2}$
$\displaystyle -\frac{π}{2}≦\frac{π}{2}-α≦0$という角になります。

さっきと同じようにして、Aの角とBの角を考えると、
Aの角は$\displaystyle 2β = \left(\frac{π}{2}-α\right)+2π$（$a = 1$を代入）
$\displaystyle 2β = \frac{5}{2}π-α$
$\displaystyle ∴β = \frac{5}{4}π-\frac{α}{2}$

$\displaystyle \frac{π}{2}≦α≦π$のとき、$\displaystyle 0≦α-\frac{π}{2}≦\frac{π}{2}$という角なので、
Bの角は$\displaystyle 2β = α-\frac{π}{2}$（$a = 0$を代入）
$\displaystyle ∴β = -\frac{π}{4}+\frac{α}{2}$

$\displaystyle \frac{π}{2}≦α≦π$のとき、
$\displaystyle \left(\frac{5}{4}π-\frac{α}{2}\right)-\left(-\frac{π}{4}+\frac{α}{2}\right) = \frac{3}{2}π-α＞0$より、
$\displaystyle β_1 = -\frac{π}{4}+\frac{α}{2}$，$\displaystyle β_2 = \frac{5}{4}π-\frac{α}{2}$です。

$\displaystyle 0≦α＜\frac{π}{2}$のとき、$\displaystyle β_1 = \frac{π}{4}-\frac{α}{2}$，$\displaystyle β_2 = \frac{3}{4}π+\frac{α}{2}$を$\displaystyle α+\frac{β_1}{2}+\frac{β_2}{3}$に代入して計算すると、$\displaystyle \frac{11}{12}α+\frac{3}{8}π$となるので、
$\displaystyle 0≦\frac{11}{12}α＜\frac{11}{24}π$
$\displaystyle \frac{3}{8}π≦\frac{11}{12}α+\frac{3}{8}π＜\frac{5}{6}π$　…C

$\displaystyle \frac{π}{2}≦α≦π$のとき、$\displaystyle β_1 = -\frac{π}{4}+\frac{α}{2}$，$\displaystyle β_2 = \frac{5}{4}π-\frac{α}{2}$を$\displaystyle α+\frac{β_1}{2}+\frac{β_2}{3}$に代入して計算すると、$\displaystyle \frac{13}{12}α+\frac{7}{24}π$となるので、
$\displaystyle \frac{13}{24}π≦\frac{13}{12}α≦\frac{13}{12}π$
$\displaystyle \frac{5}{6}π≦\frac{13}{12}α+\frac{7}{24}π≦\frac{11}{8}π$　…D

CとDより、とり得る値の範囲は、
$\displaystyle \frac{3}{8}π≦α+\frac{β_1}{2}+\frac{β_2}{3}≦\frac{11}{8}π$
この範囲で$\sin$の値が最大になるのは、角度が$\displaystyle \frac{π}{2}$のときの値の1です。

このときの$α$の値ですが、$\displaystyle \frac{π}{24}$は$\displaystyle \frac{3}{8}π$と$\displaystyle \frac{5}{6}π$の間にあるので、このときの$\displaystyle α+\frac{β_1}{2}+\frac{β_2}{3}$の値は、$\displaystyle \frac{11}{12}α+\frac{3}{8}π$です。

$\displaystyle ∴\frac{11}{12}α+\frac{3}{8}π = \frac{π}{2}$
これを解くと、$\displaystyle α = \frac{3}{22}π$です。

答え．
シ　6　　　ス　5
セ　4　　　ソ　2　　　タ　3
チ　4　　　ツ　2　　　テ　5
ト　3　　　ナ　8　　　ニヌ　11　　　ネ　8
ノ　3　　　ハヒ　22
フ　①

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