高校数学（２・Ｂ）の問題演習
指数・対数関数のグラフ
※2016（平成28）年のセンター試験の問題です。（すべて半角で入力すること。この問題では、指数の部分や対数の底（xaやlogaxのaの部分）が分数のときは「（分子）/（分母）」の形で書いています。）
（１）\( 8^{\frac{5}{6}} = \fbox{ア}\sqrt{\fbox{イ}} \)，
（※指数の分数は6分の5です）
\( \displaystyle \log_{27} {\frac{1}{9}} = \frac{\fbox{ウエ}}{\fbox{オ}} \)
である。
（２）\( y = 2^x \)のグラフと\( \displaystyle y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \)のグラフはカである。
\( y = 2^x \)のグラフと\( y = \log_{2} x \)のグラフはキである。
\( y = \log_{2} x \)のグラフと\( \displaystyle y = \log_{\frac{1}{2}} x \)のグラフはクである。
\( y = \log_{2} x \)のグラフと\( \displaystyle y = \log_{2} {\frac{1}{x}} \)のグラフはケである。
カ～ケに当てはまるものを、次の[0]～③のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
[0] 同一のもの ① x軸に関して対称
② y軸に関して対称 ③ 直線y = xに関して対称
群数列と階差数列
※2010（平成22）年のセンター試験の問題です。（すべて半角で入力すること。区切れ目を・などで区切る必要はありません。）
自然数の列1,2,3,4,…を、次のように群に分ける。
1 |
｜ | 2,3,4,5 |
｜ | 6,7,8,9,10,11,12 |
｜ | … |
第1群 |
第2群 |
第3群 |
ここで、一般に第$n$群は$(3n-2)$個の項からなるものとする。第$n$群の最後の項を$a_n$で表す。
（１）\( a_1 = 1 \)，\( a_2 = 5 \)，\( a_3 = 12 \)，\( a_4 = \fbox{アイ} \)である。
\( a_n-a_{n-1} = \fbox{ウ}n-\fbox{エ} \)（\( n = 2，3，4，… \)）
が成り立ち
\( \displaystyle a_n = \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}n^{\fbox{キ}}-\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}n \)（\( n = 1，2，3，… \)）
である。
よって、600は、第コサ群の小さい方からシス番目の項である。
（２）\( n = 1，2，3，… \)に対し、第$(n+1)$群の小さい方から$2n$番目の項を$b_n$で表すと
\( \displaystyle b_n = \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}n^{\fbox{タ}}+\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}}n \)
であり
\( \displaystyle \frac{1}{b_n} = \frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+\fbox{ナ}}\right) \)
が成り立つ。これより
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} = \frac{\fbox{ニ}n}{\fbox{ヌ}n+\fbox{ネ}} \)（\( n = 1，2，3，… \)）
となる。
点と直線の距離
※神戸大学の入試問題です。
（分数の入力は、たとえば「3分の1」なら半角文字で「1/3」と入力すること。無理数は、たとえば「ルート3」なら「√3」と入力すること。）
座標平面上に2点\( A(1,0) \)，\( B(-1,0) \)と直線$l$があり、$A$と$l$の距離と$B$と$l$の距離の和が1であるという。以下の問に答えよ。
（１）$l$は$y$軸と平行でないことを示せ。
（２）$l$が線分$AB$と交わるとき、$l$の傾きを求めよ。（絶対値が同じだが符号がちがうものは±を使ってまとめること）
（３）$l$が線分$AB$と交わらないとき、$l$と原点との距離を求めよ。
ベクトルの内積
※大分大学の入試問題です。
3つのベクトルを\( \vec{a} = (p,2) \)，\( \vec{b} = (-1,3) \)，\( \vec{c} = (1,q) \)とする。
（１）\( \vec{a}-\vec{b} \)と\( \vec{c} \)は平行で、\( \vec{b}-\vec{c} \)と\( \vec{a} \)が垂直であるとき、$p$，$q$の値を求めなさい。
（２）\( \sqrt{2}|\vec{a}| = |\vec{b}| \)が成立し、\( \vec{a}-\vec{b} \)と\( \vec{c} \)のなす角が60°であるとき、$p$，$q$の値を求めなさい。
剰余の定理と余り
※佐賀大学の入試問題です。
$a$を定数、$n$を正の定数とする。$x$の整式\( f(x) = x^n+2x^{n-1}-a \)が$x+1$で割り切れるとき、次の問いに答えよ。
（１）$a$の値を求めよ。
（２）\(f(x)\)を\( x^2-1 \)で割ったときの余りを求めよ。