高校数学（２・Ｂ）の問題演習
曲線で囲まれた図形の面積
※2010（平成22）年のセンター試験の問題を参考に作られています。
曲線\( y = -x^3+9x^2 \)を$C$とする。曲線\( y = -x^3+6x^2+7x \)を$D$とする。曲線$C$と$D$の交点の$x$座標はチ と\( \displaystyle \frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \)である。
\( -1≦x≦2 \)の範囲において、2曲線$C$，$D$および2直線\( x = -1 \)，\( x = 2 \)で囲まれた二つの図形の面積の和は\( \displaystyle \frac{\fbox{トナ}}{\fbox{ニ}} \)である。
加法定理の利用
※甲南大学の入試問題です。
次の式の値は$θ$に無関係な定数であることを証明せよ。
\( \displaystyle \sin^2θ+\sin^2\left(θ+\frac{π}{3}\right)-\sinθ\sin\left(θ+\frac{π}{3}\right) \)
確率変数と期待値・分散
箱の中に、$A$と書かれたカードが5枚、$B$と書かれたカードが3枚、$C$と書かれたカードが2枚入っている。$A$と書かれたカードをひけば1点、$B$と書かれたカードをひけば2点、$C$と書かれたカードをひけば3点と考える。
今から、箱の中からカードを1枚取り出し、何が書いているか確認した後にそれを箱に戻すという試行を5回行う。$a$回目（$a$ = 1，2，3，4，5）にひいたカードが$k$点（$k$ = 1，2，3）を示すとして、$ak$点の得点を得るとする。
このとき、得点の合計の期待値と分散を求めなさい。（半角で入力すること。答えが分数になるときは、たとえば「3分の2」なら「2/3」のように、（分子）/（分母）の形で入力すること。）
分数式の通分
※中央大学の入試問題です。
次の式を計算せよ。（すべて半角で入力し、文字の並びはアルファベット順にして答えること）
（１）\( \displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)} \)
（１）
\( \displaystyle \small{\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}} \)
（２）\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \)
（２）
\( \displaystyle \small{\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}} \)
対数と桁数
\( \log_{10} 2 = 0.3010 \)、\( \log_{10} 3 = 0.4771 \)として、次の各問いに答えなさい。（それぞれ半角数字で答えること）
（１）$3^{45}$は何桁か求めなさい。
（２）$3^{45}$の最高位の数字は何か求めなさい。