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この問題のポイント

（１）$3^{45}$について、10を底にして対数をとると、

\( \log_{10} 3^{45} \)
\( = 45\log_{10} 3 \)
= 45×0.4771
= 21.4695

この値は21より大きく、22より小さいですね。よって、

21＜\( \log_{10} 3^{45} \)＜22

この不等式のそれぞれが10を底にして対数をとっていると考えれば、
\( 10^{21}＜3^{45}＜10^{22} \)

たとえば、357という数字は3桁であり、\( 10^2＜357＜10^3 \)と表せます。つまり、桁数は、右側の数の指数（「～乗」の部分）と等しいわけですね。よって、$3^{45}$は22桁ということになります。

（２）（１）でとった対数を利用します。その小数部分0.4695に着目すると、

\( \log_{10} 2＜0.4695＜\log_{10} 3 \)

これは次のように変形していくことができます。

\( 21+\log_{10} 2＜21.4695＜21+\log_{10} 3 \)
\( 21+\log_{10} 2＜\log_{10} 3^{45}＜21+\log_{10} 3 \)

ここで、\( 21+\log_{10} 2 \)、\( 21+\log_{10} 3 \)を次のように変形します。

\( 21+\log_{10} 2 \)
\( = \log_{10} 10^{21}+\log_{10} 2 \)
\( = \log_{10} (2×10^{21}) \)

\( 21+\log_{10} 3 \)
\( = \log_{10} 10^{21}+\log_{10} 3 \)
\( = \log_{10} (3×10^{21}) \)

よって、
\( \log_{10} (2×10^{21})＜\log_{10} 3^{45}＜\log_{10} (3×10^{21}) \)

よって、\( 2×10^{21}＜3^{45}＜3×10^{21} \)
たとえば、2534は、2000＜2534＜3000の範囲にあり、これは\( 2×10^3＜2534＜3×10^3 \)と書き換えることができます。つまり、最高位の数字は一番左にある式の部分を見ればいいということです。

よって、この問題で求める最高位の数字は2となります。

答え．　（１）22桁　　　（２）2