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この問題のポイント

（１）分数の足し算は小学校では、まず分母をそろえる通分をやって、それから分子どうしを足して、ということをやりました。このやり方は文字式が入っても同じです。ただし、文字式ですから、あまりにもいろんな式どうしのかけ算をして、ということになると計算ミスなどをしてしまいがちです。できるだけ簡単に通分をしようと考えることも大切です。

たとえば、この問題では、一見すると分母の式はバラバラです。でも、\( (a-c) \)と\( (c-a) \)とか、\( (a-b) \)と\( (b-a) \)のように、(　　)の中で位置が反対になっているものが多いです。そこで、それぞれの分数をこのように変えてみましょう。

\( \displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)} = \frac{1}{-(c-a)(a-b)} = \frac{-1}{(c-a)(a-b)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{1}{(a-b)(a-c)} = \frac{1}{-(c-a)(a-b)} = \frac{-1}{(c-a)(a-b)}} \)

\( \displaystyle \frac{1}{(b-a)(b-c)} = \frac{1}{-(a-b)(b-c)} = \frac{-1}{(a-b)(b-c)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{1}{(b-a)(b-c)} = \frac{1}{-(a-b)(b-c)} = \frac{-1}{(a-b)(b-c)}} \)

\( \displaystyle \frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{-(b-c)(c-a)} = \frac{-1}{(b-c)(c-a)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{-(b-c)(c-a)} = \frac{-1}{(b-c)(c-a)}} \)

こうすると、\( (a-b) \)、\( (b-c) \)、\( (c-a) \)が2個ずつ出てくる形になりますね。このように同じ文字式が出てくるように変形するのです。このようにすると、分母は\( (a-b)(b-c)(c-a) \)で通分するといいということになります。それで通分して、上の3つの分数を足すと、

\( \displaystyle \frac{-1}{(c-a)(a-b)}+\frac{-1}{(a-b)(b-c)}+\frac{-1}{(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{-1}{(c-a)(a-b)}+\frac{-1}{(a-b)(b-c)}+\frac{-1}{(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{-(b-c)-(c-a)-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{-b+c-c+a-a+b}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)

つまり、答えは0となります。

（２）分母の形が（１）と同じなので、（１）と同じように通分していきましょう。まず、それぞれの分数は

\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} = \frac{a^3}{-(c-a)(a-b)} = \frac{-a^3}{(c-a)(a-b)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} = \frac{a^3}{-(c-a)(a-b)} = \frac{-a^3}{(c-a)(a-b)}} \)

\( \displaystyle \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} = \frac{b^3}{-(a-b)(b-c)} = \frac{-b^3}{(a-b)(b-c)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{b^3}{(b-a)(b-c)} = \frac{b^3}{-(a-b)(b-c)} = \frac{-b^3}{(a-b)(b-c)}} \)

\( \displaystyle \frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = \frac{c^3}{-(b-c)(c-a)} = \frac{-c^3}{(b-c)(c-a)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = \frac{c^3}{-(b-c)(c-a)} = \frac{-c^3}{(b-c)(c-a)}} \)

とできます。これらを使って通分すると、

\( \displaystyle \frac{-a^3}{(c-a)(a-b)}+\frac{-b^3}{(a-b)(b-c)}+\frac{-c^3}{(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{-a^3(b-c)-b^3(c-a)-c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{-a^3}{(c-a)(a-b)}+\frac{-b^3}{(a-b)(b-c)}+\frac{-c^3}{(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{-a^3(b-c)-b^3(c-a)-c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)

あとは、分子を展開して計算するという流れが（１）でしたが、ここで分子を展開するとどうなるでしょう？かなりややこしい数式ができあがるだけになりそうですね。

これは分数です。しかも、分母は(　　)でくくられた式がかけ算の形になっています。

\( \displaystyle \frac{6}{3×5} = \frac{2}{5} \)

のように、約分できるものは約分してしまわないといけません。これは文字式でも同じです。
さっきの分数も、約分できるものがあるかもしれませんから、分子を因数分解していきましょう。aの文字に着目して整理していくと、

\( \displaystyle \frac{-a^3(b-c)+a(b^3-c^3)-b^3c+bc^3}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{-a^3(b-c)+a(b-c)(b^2+bc+c^2)-bc(b^2-c^2)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{-a^3(b-c)+a(b-c)(b^2+bc+c^2)-bc(b+c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{(b-c)\{-a^3+a(b^2+bc+c^2)-bc(b+c)\}}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{-a^3+a(b^2+bc+c^2)-bc(b+c)}{(a-b)(c-a)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{-a^3(b-c)+a(b^3-c^3)-b^3c+bc^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{-a^3(b-c)+a(b-c)(b^2+bc+c^2)-bc(b^2-c^2)}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{-a^3(b-c)+a(b-c)(b^2+bc+c^2)-bc(b+c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{(b-c)\{-a^3+a(b^2+bc+c^2)-bc(b+c)\}}{(a-b)(b-c)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{-a^3+a(b^2+bc+c^2)-bc(b+c)}{(a-b)(c-a)}} \)

今、次数についてみると、aについては-a³が残っているから3次ですが、bやcについては2次ですね。因数分解は、次数の低い文字について整理していくとやりやすいので、今度はbの文字について整理していきます。まず、分子の式について(　　)をはずします。

\( \displaystyle \frac{-a^3+ab^2+abc+ac^2-b^2c-bc^2}{(a-b)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{b^2(a-c)+b(ac-c^2)-a^3+ac^2}{(a-b)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{b^2(a-c)+bc(a-c)-a(a^2-c^2)}{(a-b)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{b^2(a-c)+bc(a-c)-a(a+c)(a-c)}{(a-b)(c-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{(a-c)\{b^2+bc-a(a+c)\}}{-(a-b)(a-c)} \)
\( \displaystyle = \frac{b^2+bc-a(a+c)}{(b-a)} \)

\( \displaystyle \small{\frac{-a^3+ab^2+abc+ac^2-b^2c-bc^2}{(a-b)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{b^2(a-c)+b(ac-c^2)-a^3+ac^2}{(a-b)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{b^2(a-c)+bc(a-c)-a(a^2-c^2)}{(a-b)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{b^2(a-c)+bc(a-c)-a(a+c)(a-c)}{(a-b)(c-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{(a-c)\{b^2+bc-a(a+c)\}}{-(a-b)(a-c)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{b^2+bc-a(a+c)}{(b-a)}} \)

今度は、cについて1次となりましたので、分子の（　　）をはずしてcについて整理していくと、

\( \displaystyle \frac{b^2+bc-a^2-ac}{(b-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{c(b-a)+b^2-a^2}{(b-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{c(b-a)+(b+a)(b-a)}{(b-a)} \)
\( \displaystyle = \frac{(b-a)(c+b+a)}{(b-a)} \)
\( = c+b+a \)

\( \displaystyle \small{\frac{b^2+bc-a^2-ac}{(b-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{c(b-a)+b^2-a^2}{(b-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{c(b-a)+(b+a)(b-a)}{(b-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= \frac{(b-a)(c+b+a)}{(b-a)}} \)
\( \displaystyle \small{= c+b+a} \)

アルファベット順に並べると、\( a+b+c \)となります（実際の試験などでは、\( c+b+a \)と答えても正解となります）。

答え．　（１）0　　　（２）\( a+b+c \)