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この問題のポイント

まず、$a$回目に引いたカードによって得られる点数を$X_a$として、その$X_a$の期待値と分散を求めることから始めましょう。$X_1$，$X_2$，…，$X_5$は互いに独立で、同じ試行の繰り返しなんですから、

期待値$E(X_a)$
\( \displaystyle = 1×\frac{5}{10}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{2}{10} \)
\( \displaystyle = \frac{17}{10} \)

分散$V(X_a)$
\( \displaystyle = 1^2×\frac{5}{10}+2^2×\frac{3}{10}+3^2×\frac{2}{10}-\left(\frac{17}{10}\right)^2 \)
\( \displaystyle = \frac{35}{10}-\frac{289}{100} \)
\( \displaystyle = \frac{61}{100} \)

そして、得点の合計を$X$とすると、
\( X = 1・X_1+2X_2+3X_3+4X_4+5X_5 \)
という計算をしないといけませんよね？ということで、期待値や分散はこのように計算できることになります。

\begin{eqnarray} &&E(X)\\ &&= 1・E(X_1)+2・E(X_2)+3・E(X_3)\\ &&~~~~+4・E(X_4)+5・E(X_5)\\ &&= 1・\frac{17}{10}+2・\frac{17}{10}+3・\frac{17}{10}\\ &&~~~~+4・\frac{17}{10}+5・\frac{17}{10}\\ &&= (1+2+3+4+5)・\frac{17}{10}\\ &&= 15・\frac{17}{10}\\ &&= \frac{51}{2} \end{eqnarray}

そして、
\begin{eqnarray} &&V(X)\\ &&= 1^2・V(X_1)+2^2・V(X_2)+3^2・V(X_3)\\ &&~~~~+4^2・V(X_4)+5^2・V(X_5) \end{eqnarray}
で、$V(X_a)$はすべて等しいのですから、

\begin{eqnarray} &&V(X)\\ &&= (1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)・V(X_a)\\ &&= (1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)・\frac{61}{100}\\ &&= \frac{1}{6}・5・(5+1)・(2・5+1)・\frac{61}{100}\\ &&= 55・\frac{61}{100}\\ &&= \frac{671}{20} \end{eqnarray}

ちなみに、\( 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2 \)の部分は下の公式を使って計算しています。数列の単元で習った公式ですね。

\( \displaystyle 1^2+2^2+3^2+…+n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)

答え．
期待値　\( \displaystyle \frac{51}{2} \)
分散　\( \displaystyle \frac{671}{20} \)