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この問題のポイント

証明しなさいと出されている式の中には、こんなふうになっている部分がありますね。

$\displaystyle \sin \left(θ+\frac{π}{3}\right)$

このような、$\sin$の中身が足し算の形になっているときは、加法定理を使って、$\sin$や$\cos$の中身を簡単な形にすることを考えてみましょう。そのようにすると、問題を解く手がかりになるかもしれないからです。
加法定理は、こんな定理でしたね。

$\sin (α+β) = \sin α\cos β+\cos α\sin β$
$\sin (α-β) = \sin α\cos β-\cos α\sin β$
$\cos (α+β) = \cos α\cos β-\sin α\sin β$
$\cos (α-β) = \cos α\cos β+\sin α\sin β$

これを使うと、
$\displaystyle \sin \left(θ+\frac{π}{3}\right)$
$\displaystyle = \sin θ\cos \frac{π}{3}+\cos θ\sin \frac{π}{3}$
$\displaystyle = \frac{1}{2}\sin θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ$

これを、問題で与えられた式に代入していきましょう。

$$\begin{eqnarray} &&\sin^2θ+\sin^2\left(θ+\frac{π}{3}\right)-\sinθ\sin\left(θ+\frac{π}{3}\right)\\ &&= \sin^2θ+\left(\frac{1}{2}\sin θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ\right)^2\\ &&~~~~-\sin θ\left(\frac{1}{2}\sin θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ\right)\\ &&= \sin^2θ+\frac{1}{4}\sin^2θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin θ\cos θ+\frac{3}{4}\cos^2θ\\ &&~~~~-\frac{1}{2}\sin^2θ-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin θ\cos θ\\ &&= \frac{3}{4}\sin^2θ+\frac{3}{4}\cos^2θ\\ &&= \frac{3}{4}(\sin^2θ+\cos^2θ)\\ &&= \frac{3}{4}・1\\ &&= \frac{3}{4} \end{eqnarray}$$

よって、$θ$に関係なく必ずこの定数となります。

解答のチェックポイント

• 加法定理を使って式を変形できているか
• $\sin^2θ+\cos^2θ = 1$を利用しているか