この問題のポイント
sin(α+β)などsinやcosの中身が足し算や引き算になっていたら、加法定理を利用することを考えよう！
証明しなさいと出されている式の中には、こんなふうになっている部分がありますね。
\( \displaystyle \sin \left(θ+\frac{π}{3}\right) \)
このような、\( \sin \)の中身が足し算の形になっているときは、加法定理を使って、\( \sin \)や\( \cos \)の中身を簡単な形にすることを考えてみましょう。そのようにすると、問題を解く手がかりになるかもしれないからです。
加法定理は、こんな定理でしたね。
\( \sin (α+β) = \sin α\cos β+\cos α\sin β \)
\( \sin (α-β) = \sin α\cos β-\cos α\sin β \)
\( \cos (α+β) = \cos α\cos β-\sin α\sin β \)
\( \cos (α-β) = \cos α\cos β+\sin α\sin β \)
これを使うと、
\( \displaystyle \sin \left(θ+\frac{π}{3}\right) \)
\( \displaystyle = \sin θ\cos \frac{π}{3}+\cos θ\sin \frac{π}{3} \)
\( \displaystyle = \frac{1}{2}\sin θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ \)
これを、問題で与えられた式に代入していきましょう。
\begin{eqnarray} &&\sin^2θ+\sin^2\left(θ+\frac{π}{3}\right)-\sinθ\sin\left(θ+\frac{π}{3}\right)\\ &&= \sin^2θ+\left(\frac{1}{2}\sin θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ\right)^2\\ &&~~~~-\sin θ\left(\frac{1}{2}\sin θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos θ\right)\\ &&= \sin^2θ+\frac{1}{4}\sin^2θ+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin θ\cos θ+\frac{3}{4}\cos^2θ\\ &&~~~~-\frac{1}{2}\sin^2θ-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin θ\cos θ\\ &&= \frac{3}{4}\sin^2θ+\frac{3}{4}\cos^2θ\\ &&= \frac{3}{4}(\sin^2θ+\cos^2θ)\\ &&= \frac{3}{4}・1\\ &&= \frac{3}{4} \end{eqnarray}
よって、$θ$に関係なく必ずこの定数となります。
解答のチェックポイント
- 加法定理を使って式を変形できているか
- \( \sin^2θ+\cos^2θ = 1 \)を利用しているか