高校数学（３・Ｃ）の問題演習
令和6年7月21日
楕円に外接する長方形の面積
※首都大学東京の入試問題です。
座標平面において楕円\( \displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9} = 1 \)を$C$とする。このとき、以下の問いに答えなさい。
（１）$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい。
（２）すべての辺が$C$に接する長方形の1辺の傾きが$m$であるとする。この長方形の面積$S(m)$を求めなさい。
（３）$m$がすべての実数を動くとき、（２）で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい。（半角数字のみ入力すること）
令和6年4月20日
不等式の証明と微分
※（ ）内の大学の入試問題を参考に作られています。
（１）（津田塾大）
$x＞0$のとき、次の数の大小を比較せよ。
\( \sqrt{1+x} \)，\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}x \)，\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2 \)
（２）（信州大）
\( \sqrt{2}＜e^{\frac{1}{e}} \)を示せ。
（３）（岡山大）
① 関数\( \displaystyle f(x) = \frac{\log {(x+1)}}{x} \)の導関数$f'(x)$を求めよ。
② 実数$a$，$b$は\( b＞a＞0 \)を満たすとする。このとき、不等式\( (a+1)^b＞(b+1)^a \)を証明せよ。
令和6年1月16日
三角形が含む点とベクトル
※横浜国立大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 半角で入力すること。ただし、根号のみ半角でなくてよく、ルートの記号（√）を入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
- 根号が入る場合は、たとえば「ルート5」なら√5のように√につづけて数字を入力すること。
- 無理数の係数が分数の場合は、たとえば「ルート5」の係数が3分の2なら2√5/3のように、分子に無理数を含めて入力すること。
平面上に$△OAB$があり、$OA$ = 5，$OB$ = 6，$AB$ = 7を満たしている。$s$，$t$を実数とし、点$P$を\( \overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \)によって定める。次の問いに答えよ。
（１）$△OAB$の面積を求めよ。
（２）$s$，$t$が$s≧0$，$t≧0$，$1≦s+t≦2$を満たすとき、点$P$が存在しうる部分の面積を求めよ。
（３）$s$，$t$が$s≧0$，$t≧0$，$1≦2s+t≦2$，$s+3t≦3$を満たすとき、点$P$が存在しうる部分の面積を求めよ。
令和5年10月8日
斜回転の体積
※信州大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 半角で入力すること。ただし、根号はルートの記号（√）を、円周率$π$は「パイ」で変換して出るものを入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
- 根号が入る場合は、たとえば「ルート5」なら√5のように√につづけて数字を入力すること。
半直線$l$：\( y = x \)（$x≧0$），放物線$C$：\( \displaystyle y = \frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2} \)を考える。以下の問いに答えよ。
（１）放物線$C$と半直線$l$が接する点の座標を求めよ。
（２）$t≧0$とする。原点からの距離が$t$である$l$上の点を$A(t)$とするとき、$A(t)$を通り$l$に直交する直線と、放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ。
（３）放物線$C$と半直線$l$および$y$軸とで囲まれた図形を、半直線$l$のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
令和5年7月11日
1のn乗根
※千葉大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること。ただし、根号はルートの記号（√）を入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
- 虚数単位のiの係数が分数の場合、たとえば係数が3分の2なら2i/3のように、分子にiを含めること。
- 根号が入る場合は、たとえば「ルート2」なら√2のように√につづけて数字を入力すること。
\( \displaystyle z = \cos{\frac{2π}{7}}+i\sin{\frac{2π}{7}} \)（$i$は虚数単位）とおく。
（１）$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ。
（２）$α = z+z^2+z^4$とするとき、\( α+\overline{α} \)，\( α\overline{α} \)および$α$を求めよ。ただし、$\overline{α}$は$α$の共役複素数である。
（３）\( (1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6) \)を求めよ。