高校数学（３・Ｃ）の問題演習
令和2年7月26日
楕円の定義
※横浜国立大学の入試問題を参考に作られています。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること。
- 円周率についてはギリシア文字大文字のパイ（$π$）で入力すること。根号はルートの記号を入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら[1]/[3]のように、[分子]/[分母]の形で入力すること。文字の係数が分数の場合、たとえばaの係数が5分の3なら[3a]/[5]のように、分子のところに文字を含めること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。
$xy$平面上に、原点$O$を中心とする半径4の円$C$と、定点\( A(2,0) \)がある。$P$を$C$上の点とし、線分$AP$の垂直二等分線と直線$OP$との交点を$Q$とする。$P$が$C$上を動くとき、$Q$の軌跡を$D$とする。次の問いに答えよ。
（１）$D$の方程式を求めよ。
（２）$D$と$y$軸の正の部分との交点の$y$座標$d$を求めよ。さらに、$D$で囲まれた図形のうち$y$座標が$d$以上の部分の面積を求めよ。
令和2年4月12日
関数のグラフ
※愛知教育大学の入試問題です。
関数\( \displaystyle f(x) = \frac{(x+4)^2(2x-1)}{3x^2} \)について、次の問いに答えよ。
問1 \( y = f(x) \)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べよ。
問2 関数$g(x)$を
\( \displaystyle g(x) = f(x)-\left(\frac{2}{3}x+5\right) \)
で定める。このとき、\( g(x)＞0 \)となる$x$の範囲を求めよ。また、
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) \)および\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) \)
を求めよ。（半角のみで入力し、分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること）
問3 \( y = f(x) \)のグラフの概形をかけ。
令和2年1月2日
定積分で表された関数の最小値
※岩手大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- スペースを入れずにすべて半角で入力すること
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
- 分数の前にマイナスの記号をつけるときは、(分子)/(分母)の形の前に半角でマイナスの記号をおくこと
関数$F(x)$と連続関数$f(t)$の関係が
\( \displaystyle F(x) = \int_{-x}^x f(t)dt \)
で与えられるとき、次の問いに答えよ。
（１）\( f(t) = e^t-e^{-t} \)のとき、$F(x)$を求めよ。
（２）2つの連続関数$g(t)$，$h(t)$において、\( g(-t) = g(t) \)，\( h(-t) = -h(t) \)が常に成り立つとする。\( f(t) = g(t)+h(t) \)とするとき、$F'(x)$を求めよ。
（３）\( f(t) = t^2-1+(e^t-e^{-t})\cos{t} \)のとき、\( x＞0 \)における$F(x)$の最小値を求めよ。
令和元年9月15日
複素数の絶対値と極形式
※名城大学の入試問題です。
$z$を虚数とするとき、次の問いに答えよ。
（１）\( \displaystyle z+\frac{1}{z} \)が実数となるとき、$z$の絶対値$|z|$を求めよ。（半角数字のみで入力すること）
（２）\( \displaystyle z+\frac{1}{z} \)が整数となる$z$をすべて求めよ。
令和元年6月2日
三角関数の極限
※横浜国立大学の入試問題を参考に作られています。（すべて半角で入力し、分数をあらわすときは、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること）
\( x≧0 \)のとき、
\( \displaystyle x-\frac{x^3}{6}≦\sin{x}≦x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} \)
が成り立つ。
（１）\(\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{x}\right) \)を求めよ。
（２）$n$が2以上の整数のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \to +0} x^k\left(\frac{1}{\sin^n{x}}-\frac{1}{x^n}\right) \)
が0でない値に収束するような$k$を求めよ。