この問題のポイント
複素数zが実数ならz = z！
zのままやx+yiの形で考えても解けない問題は、極形式r(cosθ+isinθ)を利用して考えてみる！
（１）複素数zが実数、純虚数であるときの条件として、次のようなものがあります。
zが実数⟺
z=¯z
zが純虚数⟺
z=−¯zかつz≠0
この条件を使って考えてみると、
¯z+1z=z+1z
ここで、共役複素数について、次のような性質があることを利用して、上の式を変形していきましょう。
A.¯α+β=¯α+¯β
B.¯α−β=¯α−¯β
C.¯αβ=¯α¯β
D.¯(αβ)=¯α¯β
※つまり、四則計算をした後に共役をとっても、共役をとった後に四則計算をしても、結果は変わらないということです。
上のA.の性質を利用すると、
¯z+1¯z=z+1z
両辺にz¯zをかけると、
z(¯z)2+z=z2¯z+¯z
z(¯z)2−(z2+1)¯z+z=0
因数分解すると、(¯z−z)(z¯z−1)=0
ここで、|z|2=z¯zより、(¯z−z)(|z|2−1)=0
これより、¯z−z=0か、|z|2−1=0と考えられますが、zは虚数ですから、z=¯zにはなりえません（z=¯zだと実数になります）。
つまり、¯z−zは0にならないということになります。
よって、|z|2−1=0
|z|2=1
|z|≧0より、|z|=1
ちなみに、|z|2=z¯zはかなり重要な定理になりますので、きちんとおさえるようにしてください。
（２）この問題については、（１）のように式をたてて変形していくということができませんし、z=x+yiとおいて考えていくと、非常に計算がややこしくなります。そこで、複素数zを極形式の形で置き換えて考えてみましょう。極形式とは、r(cosθ+isinθ)(0≦θ≦2π)の形です。
rは複素数zの絶対値のことなので、（１）で|z|=1と求めましたので、z=cosθ+isinθ(0≦θ≦2π)とおけます。
すると、
1z
=1cosθ+isinθ
=cosθ−isinθ(cosθ+isinθ)(cosθ−isinθ)
=cosθ−isinθcos2θ+sin2θ
=cosθ−isinθ（∵cos2θ+sin2θ=1）
∴z+1z=2cosθ
0≦θ≦2πより、−1≦cosθ≦1なので、これが整数となるなら、
2cosθ=−2，−1，0，1，2
のどれかの値になるということになります。
2cosθ=−2ならば、cosθ=−1より、θ=π
このときz=cosπ+isinπ=−1
しかし、これはzが虚数であるという問題文の条件に合いません。
2cosθ=−1ならば、cosθ=−12より、θ=23π，43π
このときz=cos23π+isin23π=−1+√3i2かz=cos43π+isin43π=−1−√3i2
2cosθ=0ならば、cosθ=0より、θ=12π，32π
このときz=cos12π+isin12π=iかz=cos32π+isin32π=−i
2cosθ=1ならば、cosθ=12より、θ=16π，56π
このときz=cos16π+isin16π=1+√3i2かz=cos56π+isin56π=1−√3i2
2cosθ=2ならば、cosθ=1より、θ=0
このときz=cos0+isin0=1
しかし、これはzが虚数であるという問題文の条件に合いません。
以上をまとめると、
z = −1+√3i2，−1−√3i2，i，−i，1+√3i2，1−√3i2
答え．
（１）|z|=1
（２）z = −1+√3i2，−1−√3i2，i，−i，1+√3i2，1−√3i2