高校数学（３・Ｃ）の問題演習
平均値の定理
※島根大学の入試問題です。
$c$を\( c＜1 \)なる実数とし、$f(x)$は微分可能な関数で、すべての$x$に対して\( f'(x)＜c \)を満たすものとする。このとき、次のことを示せ。
（１）\( x≧0 \)のときは\( f(x)-f(0)≦cx \)となり、\( x≦0 \)のときは\( f(x)-f(0)≧cx \)となる。
（２）方程式\( f(x) = x \)は少なくとも1つの実数解をもつ。
媒介変数表示の利用
※東北大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 根号を示す√のみ全角で、その他は半角で入力すること
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。分母は有理化すること。
$xy$平面において、次の式が表す曲線を$C$とする。
\( x^2+4y^2 = 1 \)，\( x＞0 \)，\( y＞0 \)
$P$を$C$上の点とする。$P$で$C$に接する直線を$l$とし、$P$を通り$l$と垂直な直線を$m$として、$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする。$P$が$C$上の点全体を動くとき、$S$の最大値とそのときの$P$の座標を求めよ。
曲線の長さ
※京都大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 円周率を示す$π$と根号を示す√のみ全角で、その他は半角で入力すること
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力し、分子が数式になっても必ずその形で入力すること
- 根号やlogの中が数式になる場合は、たとえば√[2x+3]やlog[3x-7]のように、数式を[ ]で囲むこと
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa2のように、「○乗」の部分（指数）を直後にそのまま入力すること
（１）\( x＞0 \)で定義された関数\( f(x) = \log (x+\sqrt{1+x^2}) \)について、導関数$f'(x)$を求めよ。（分母が無理数のままの形で入力すること）
（２）極方程式\( r = θ \)（\( θ≧0 \)）で定義される曲線の、\( 0≦θ≦π \)の部分の長さを求めよ。
分数関数
※岡山大学の入試問題です。
$a$を正の実数とする。\( x≧0 \)のとき、
\( \displaystyle y = \frac{ax-1}{a-x} \)
がとりうる値の範囲を求めよ。
三角関数の定積分
※北海道大学の入試問題です。
（１）整数$m$，$n$に対して、
積分\( \displaystyle I_{m,n} = \int_0^{2π} \cos{mx}\cos{nx}dx \)
を求めよ。
（２）自然数$m$，$n$に対して、
積分\( \displaystyle J_n = \int_0^{2π} \left(\sum_{k=1}^n \sqrt{k}\cos{kx}\right)^2dx \)
を求めよ。