高校数学（３・Ｃ）の問題演習
はさみうちの原理の利用
※津田塾大学の入試問題を参考に作られています。
\( 1+2x-3x^2≦f(x)≦1+2x+3x^2 \)が成り立つような関数$f(x)$に対し、$f'(0)$を右側極限と左側極限を考えることにより求めよ。（半角で入力すること）
ド・モアブルの定理
※同志社大学の入試問題です。（√（根号）と$π$のみ全角で入力し、それら以外はすべて半角で入力すること。また、無理数を入力するときは、たとえば「ルート2と入力するときは√2」という要領で入力すること。）
複素数
\( α = (\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i \)
について、次の問いに答えよ。
（１）$α^2$を計算せよ。（虚部を後ろにした形で入力すること）
（２）$α$を極形式で表せ。ただし、$α$の偏角$θ$の範囲は\( 0°≦θ＜2π \)とする。（虚部を後ろにした形で入力し、$π$の係数が分数になる場合は、たとえば「3分の2が係数ならば2$π$/3」という要領で入力すること）
（３）方程式\( z^3 = α \)を解き、解を極形式で表せ。（（２）と同じ形で入力すること。答えが複数ある場合は、$π$の係数が小さいものから順に書き、解と解の間に半角の,を入力すること。）
（４）$n$を自然数とする。複素数$w_n$を
\( w_n = (1+i)α^n \)
によって定めるとき、$w_n$が実数となる最小の自然数$n$を求めよ。
第n次導関数
※山梨大学の入試問題です。
関数\( f(x) = xe^{-x} \)の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$を求めよ。（すべて半角で入力し、累乗をあらわすときは、たとえばaの2乗ならばa^2のように入力すること）
回転体の体積
※神戸大学の入試問題です。
$a$を正の定数とし、2曲線$C_1$：\( y = \log x \)，$C_2$：\( y = ax^2 \)が点$P$で接しているとする。以下の問に答えよ。
（１）$P$の座標と$a$の値を求めよ。
（分数はたとえば「4分の1」ならば「1/4」のように記入すること。無理数はたとえば「ルート3」ならば「√3」のように記入すること）
（２）2曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸で囲まれた部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
（同類項はまとめ、（ ）内は文字のついている項を後に書くこと。また、たとえば「3分の2√a」は「2√a/3」のように記入すること）
極方程式と円
※筑波大学の入試問題です。
$a$を正の実数とする。曲線$C_a$を極方程式
\( r = 2a\cos{(a-θ)} \)
によって定める。このとき、次の問いに答えよ。
（１）$C_a$は円になることを示し、その中心と半径を求めよ。
（２）$C_a$が直線\( y = -x \)に接するような$a$をすべて求めよ。