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この問題のポイント

極方程式をxy方程式に書き換えて考えよう!
r2 = x2+y2
x = rcosθ
y = rsinθを利用しよう!

(1)原点から点Aまでの距離(r)と、点Aと原点とx軸を結ぶ線とのなす角(θ)で表した方程式を極方程式といいます。

この極方程式の表し方では、「これは円の方程式です」と言われても、中心の座標がどこかなどということがすぐにわからないようになっています。それがすぐにわかるようにするには、xy方程式のほうが便利ですね?

というわけで、極方程式をxy方程式に書き換えます。その書き換えで使えるのが、上に挙げた3つの式です。

まず、問題に出てた極方程式には、r2cosθもありません(rとかcos(aθ)ならありますが)。なので、その形を「作り」ます。両辺にrをかけて、さらに加法定理を使って変形すると、

r2=2arcos(aθ)
r2=2ar(cosacosθ+sinasinθ)
r2=rcosθ2acosa+rsinθ2asina

これで、r2rcosθrsinθも出てきましたから、このようになります。

x2+y2=2axcosa+2aysina
x22axcosa+y22aysina=0

ここで、円の方程式の形にするために平方完成をすると、

(x22axcosa+a2cos2a)a2cos2a    +(y22aysina+a2sin2a)a2sin2a=0(xacosa)2+(yasina)2    =a2cos2a+a2sin2a(xacosa)2+(yasina)2    =a2(cos2a+sin2a)

cos2θ+sin2θ=1ですから、
(xacosa)2+(yasina)2=a2

これで、円になることが示されました。そして、この式より、中心は(acosa,asina)であり、半径はaだということもわかります。

解答のチェックポイント

高校 数学 問題演習 極方程式で表した円と直線の関係の図

(2)円が直線y=xと接しているということは、右図のような関係になっているということです。この図からわかるとおり、中心である点(acosa,asina)と直線y=xつまりx+y=0の距離が、ちょうど半径aと等しくなっている関係になっています。

ということで、点と直線の距離の公式を使うと、このような式ができあがります。

高校 数学 問題演習 点と直線の距離の公式を使った方程式

分母が2となりますから、
|acosa+asina|=2a

絶対値が2aということですから、
acosa+asina=±2a
a(cosa+sina)=±2a
cosa+sina=±2

三角関数の合成を使って変形すると、
2sin(a+π4)=±2
sin(a+π4)=±1
a+π4=π2+nπnは整数)

よって、a=π4+nπ
ただし、aは正の実数ですから、nは0以上の整数です。

答え.
(1)
(円になることの証明は上の解説参照)
中心 (acosa,asina)   半径 a
(2)
a=π4+nπnは0以上の整数)