高校数学（３・Ｃ）の問題演習

連続関数の決定

※上智大学の入試問題です。

$f(x) = \begin{cases} x^2+1 & (x≦1のとき) \\ -2x^2+ax+b & (x＞1のとき) \end{cases}$
で関数 $f(x)$ を定める。 $f(x)$ が $x = 1$ で微分可能となるような $a$ ， $b$ の値を求めよ。
（半角で入力すること）

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回転移動と整数問題

上の行列 $A$ ， $B$ で表される１次変換をそれぞれ $f$ ， $g$ とする。変換 $f$ を $m$ 回、変換 $g$ を $n$ 回適当な順序で行うと、 $P(2,0)$ が $Q(\sqrt{3},1)$ に移る。 $m+n$ が最小となるときの $m$ ， $n$ の値をそれぞれ求めなさい。
（半角で入力すること）

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面積の２等分

曲線 $y = \sin{x}$ （ $0≦x≦π$ ）と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を、次の曲線が二等分するときの $k$ の値を求めなさい。

$\displaystyle y = k\sin{\frac{x}{2}}$

（解答の際、無理数で答える必要がある場合は、たとえば「ルート３」のときは「√3」（数字は半角）と表記すること。また、数字や符号はすべて半角で入力すること。）

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２次曲線の交点

楕円 $x^2+2y^2 = 1$ と放物線 $4y = 2x^2+a$ が異なる４つの点で交わるときの $a$ の値の範囲を求めなさい。
（解答の際、無理数で答える必要がある場合は、たとえば「ルート３」のときは「√3」（数字は半角）と表記すること。また、数字や符号・不等号はすべて半角で入力すること。）

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逆関数と共有点

関数 $f(x) = x^2-2x+k$ （ $x≧1$ ）のグラフが、その逆関数 $f^{-1}(x)$ のグラフと異なる２つの共有点をもつときの、 $k$ の値の範囲を求めなさい。

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