高校数学（３・Ｃ）の問題演習
連続関数の決定
※上智大学の入試問題です。
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2+1 & (x≦1のとき) \\
-2x^2+ax+b & (x＞1のとき)
\end{cases}
$$
で関数$f(x)$を定める。$f(x)$が\( x = 1 \)で微分可能となるような$a$，$b$の値を求めよ。
（半角で入力すること）
回転移動と整数問題
上の行列$A$，$B$で表される１次変換をそれぞれ$f$，$g$とする。変換$f$を$m$回、変換$g$を$n$回適当な順序で行うと、\( P(2,0) \)が\( Q(\sqrt{3},1) \)に移る。$m+n$が最小となるときの$m$，$n$の値をそれぞれ求めなさい。
（半角で入力すること）
面積の２等分
曲線\( y = \sin{x} \)（\( 0≦x≦π \)）と$x$軸で囲まれた部分の面積を、次の曲線が二等分するときの$k$の値を求めなさい。
\( \displaystyle y = k\sin{\frac{x}{2}} \)
（解答の際、無理数で答える必要がある場合は、たとえば「ルート３」のときは「√3」（数字は半角）と表記すること。また、数字や符号はすべて半角で入力すること。）
２次曲線の交点
楕円\( x^2+2y^2 = 1 \)と放物線\( 4y = 2x^2+a \) が異なる４つの点で交わるときの$a$の値の範囲を求めなさい。
（解答の際、無理数で答える必要がある場合は、たとえば「ルート３」のときは「√3」（数字は半角）と表記すること。また、数字や符号・不等号はすべて半角で入力すること。）
逆関数と共有点
関数\( f(x) = x^2-2x+k \)（\( x≧1 \)）のグラフが、その逆関数\( f^{-1}(x) \)のグラフと異なる２つの共有点をもつときの、$k$の値の範囲を求めなさい。