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この問題のポイント

\( x^2+2y^2 = 1 \)　…①、\( 4y = 2x^2+a \)　…②とします。
②を、$x^2$について解き、それを①に代入すると、
\( \displaystyle 2y-\frac{1}{2}a+2y^2 = 1 \)
つまり、\( 4y^2+4y-a-2 = 0 \) …③

ちなみに、$x$は実数なので、\( x^2≧0 \)ですので、①を、$x^2$について解いた式について、
\( x^2 = 1-2y^2 \)ですので、
\( 1-2y^2≧0 \)

これを解くと、
\( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}≦y≦\frac{1}{\sqrt{2}} \)

よって、\( \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}＜y＜\frac{1}{\sqrt{2}} \)（これを④とします）で、方程式③は２つの異なる解をもつように定めなければなりません。ここで、\( f(y) = 4y^2+4y-a-2 \)とおきます。

そのためには、次の４つの条件が必要です。

[1]方程式③の判別式\( D＞0 \)であること
方程式③について、
\( \frac{D}{4} = 2^2-4・(-a-2) ＞0 \)
\( 4+4a+8＞0 \)
これを解いて、 \( a＞-3 \)

[2]$f(y)$のグラフの軸が④の範囲内にあること
$f(y)$を平方完成します。
\( f(y) = 4(y^2+y)-a-2 \)

よって、$f(y)$
\( \displaystyle = 4\left(y^2+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-a-2 \)
\( \displaystyle = 4\left(y^2+y+\frac{1}{4}\right)-1-a-2 \)
\( \displaystyle = 4\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-a-3 \)

よって、軸は\( \displaystyle y = -\frac{1}{2} \)なので、④の範囲内にあるといえるので、問題ないですね。

[3]\( \displaystyle f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)＞0 \)であること
代入して計算すると、

\( \displaystyle 4・\frac{1}{2}+4・\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-a-2＞0 \)
\( 2-2\sqrt{2}-a-2＞0 \)
よって、\( a＜-2\sqrt{2} \)

[4]\( \displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)＞0 \)であること
代入して計算すると、

\( \displaystyle 4・\frac{1}{2}+4・\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-a-2＞0 \)
\( 2+2\sqrt{2}-a-2＞0 \)
よって、\( a＜2\sqrt{2} \)

[1]～[4]すべての範囲を満たさなければなりませんから、\( -3＜a＜-2\sqrt{2} \)となりますね。

答え．\( -3＜a＜-2\sqrt{2} \)