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この問題のポイント

$x^2+2y^2 = 1$　…①、$4y = 2x^2+a$　…②とします。
②を、$x^2$について解き、それを①に代入すると、
$\displaystyle 2y-\frac{1}{2}a+2y^2 = 1$
つまり、$4y^2+4y-a-2 = 0$ …③

ちなみに、$x$は実数なので、$x^2≧0$ですので、①を、$x^2$について解いた式について、
$x^2 = 1-2y^2$ですので、
$1-2y^2≧0$

これを解くと、
$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}≦y≦\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}＜y＜\frac{1}{\sqrt{2}}$（これを④とします）で、方程式③は２つの異なる解をもつように定めなければなりません。ここで、$f(y) = 4y^2+4y-a-2$とおきます。

そのためには、次の４つの条件が必要です。

[1]方程式③の判別式$D＞0$であること
方程式③について、
$\frac{D}{4} = 2^2-4・(-a-2) ＞0$
$4+4a+8＞0$
これを解いて、 $a＞-3$

[2]$f(y)$のグラフの軸が④の範囲内にあること
$f(y)$を平方完成します。
$f(y) = 4(y^2+y)-a-2$

よって、$f(y)$
$\displaystyle = 4\left(y^2+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-a-2$
$\displaystyle = 4\left(y^2+y+\frac{1}{4}\right)-1-a-2$
$\displaystyle = 4\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-a-3$

よって、軸は$\displaystyle y = -\frac{1}{2}$なので、④の範囲内にあるといえるので、問題ないですね。

[3]$\displaystyle f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)＞0$であること
代入して計算すると、

$\displaystyle 4・\frac{1}{2}+4・\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-a-2＞0$
$2-2\sqrt{2}-a-2＞0$
よって、$a＜-2\sqrt{2}$

[4]$\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)＞0$であること
代入して計算すると、

$\displaystyle 4・\frac{1}{2}+4・\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-a-2＞0$
$2+2\sqrt{2}-a-2＞0$
よって、$a＜2\sqrt{2}$

[1]～[4]すべての範囲を満たさなければなりませんから、$-3＜a＜-2\sqrt{2}$となりますね。

答え．$-3＜a＜-2\sqrt{2}$