この問題のポイント
どちらの曲線も、y軸に対して対称
⇔1つのyの値に対して対応するxの値は2つ
ということで、yの値が2つになるような交わり方を考えよう!
x2+2y2=1 …①、4y=2x2+a …②とします。
②を、x2について解き、それを①に代入すると、
2y−12a+2y2=1
つまり、4y2+4y−a−2=0 …③
ちなみに、xは実数なので、 x^2≧0 ですので、①を、x^2について解いた式について、
x^2 = 1-2y^2 ですので、
1-2y^2≧0
これを解くと、
\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}≦y≦\frac{1}{\sqrt{2}}
よって、 \displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}<y<\frac{1}{\sqrt{2}} (これを④とします)で、方程式③は2つの異なる解をもつように定めなければなりません。ここで、 f(y) = 4y^2+4y-a-2 とおきます。
そのためには、次の4つの条件が必要です。
[1]方程式③の判別式 D>0 であること
方程式③について、
\frac{D}{4} = 2^2-4・(-a-2) >0
4+4a+8>0
これを解いて、 a>-3
[2]f(y)のグラフの軸が④の範囲内にあること
f(y)を平方完成します。
f(y) = 4(y^2+y)-a-2
よって、f(y)
\displaystyle = 4\left(y^2+y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-a-2
\displaystyle = 4\left(y^2+y+\frac{1}{4}\right)-1-a-2
\displaystyle = 4\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-a-3
よって、軸は \displaystyle y = -\frac{1}{2} なので、④の範囲内にあるといえるので、問題ないですね。
[3] \displaystyle f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)>0 であること
代入して計算すると、
\displaystyle 4・\frac{1}{2}+4・\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-a-2>0
2-2\sqrt{2}-a-2>0
よって、 a<-2\sqrt{2}
[4] \displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)>0 であること
代入して計算すると、
\displaystyle 4・\frac{1}{2}+4・\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-a-2>0
2+2\sqrt{2}-a-2>0
よって、 a<2\sqrt{2}
[1]~[4]すべての範囲を満たさなければなりませんから、 -3<a<-2\sqrt{2} となりますね。
答え. -3<a<-2\sqrt{2}