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この問題のポイント

$f(x)$が\( x = 1 \)で微分可能となるには、まず、この関数が\( x = 1 \)で連続してないといけません。そのためには、下の等式が成り立たないといけません。

\( \displaystyle \lim_{h \to 1+0} f(h) = f(1)\)
\( -2・1^2+a・1+b = 2 \)
\( -2+a+b = 2 \)
\( ∴b = -a+4 \) …①

これを$f(x)$の\( x＞1 \)のときの式に代入すると、
\( f(x) = -2x^2+ax-a+4 \)

そして、連続となるわけですから、$x$を限りなく1に近づけたときに、\( x≦1 \)のときの関数と、\( x＞1 \)のときの関数のそれぞれの微分係数は等しくなってないといけませんね。つまり、
\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \)

\( f(1) = 1^2+1 = 2 \)なので、
\(\displaystyle \small{\lim_{x \to 1+0} \frac{-2x^2+ax-a+4-2}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{x^2+1-2}{x-1}} \)
\(\displaystyle \small{\lim_{x \to 1+0} \frac{-2x^2+ax-a+2}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{x^2-1}{x-1}} \)
\(\displaystyle \small{\lim_{x \to 1+0} \frac{-2x^2+ax-(a-2)}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}} \)
\(\displaystyle \small{\lim_{x \to 1+0} \frac{(-2x+a-2)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-0} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}} \)

$x-1$で約分すると、
\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} (-2x+a-2) = \lim_{x \to 1-0} (x+1) \)

$x$は限りなく1に近づくわけなので、
\( -2・1+a-2 = 1+1 \)
\( -2+a-2 = 2 \)
\( ∴a = 6 \)

そして①より、
\( b = -6+4 = -2 \)

答え．\( a = 6 \)，\( b = -2 \)