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この問題のポイント

２曲線にそれぞれ記号をつけます。

\( y = \sin{x} \) …Ⅰ
\( \displaystyle y = k\sin{\frac{x}{2}} \) …Ⅱ

ⅠとⅡの交点の$x$座標を$α$とし、ⅠとⅡで囲まれた部分の面積を$S(k)$とすると、

$S(k)$
\( \displaystyle = \int_0^α \left(\sin{x}-k\sin{\frac{x}{2}}\right)dx \)
\( \displaystyle = \left[-\cos{x}+2k\cos{\frac{x}{2}}\right]_0^α \)
\( \displaystyle = -\cosα+2k\cos{\frac{α}{2}}-(-1+2k) \) …①

ところで、ⅠとⅡの交点の$x$座標が$α$と定めたのですから、
\( \displaystyle \sinα = k\sin{\frac{α}{2}} \) …②

$α$の範囲は、\( 0＜α＜π \) …③

②を、２倍角の公式を使って変形すると、
\( \displaystyle 2\sin{\frac{α}{2}}\cos{\frac{α}{2}} = k\sin{\frac{α}{2}} \)
よって、\( \displaystyle \cos{\frac{α}{2}} = \frac{k}{2} \) …④

ちなみに、③の範囲がありますから、$k$の範囲は、
\( 0≦k≦2 \) …⑤

そして、①を、④が代入できるように変形し、代入すると、以下のようになります。

$S(k)$
\( \displaystyle = -2\cos^2{\frac{α}{2}}+1+2k\cos{\frac{α}{2}}+1-2k \)
\( \displaystyle = -2\cos^2{\frac{α}{2}}+2k\cos{\frac{α}{2}}-2k+2 \)
\( \displaystyle = -2・\frac{k^2}{4}+2k・\frac{k}{2}-2k+2 \)
\( \displaystyle = \frac{1}{2}k^2-2k+2 \)

$S(k)$が問題文の条件に合致するには、$S(0)$の半分になればいいはずですね。$S(0)$は、\( y = \sin{x} \)と、$x$軸の間で囲まれた部分ですから、\( \sin{x} \)を0から$π$までの範囲で積分すればいいはずです。
それで計算すると、\( S(0) = 2 \)

よって、以下の方程式を解けばよいことになります。
\( \displaystyle \frac{1}{2}k^2-2k+2 = 1 \)

変形して、\( k^2-4k+2 = 0 \)
解くと、\( k = 2±\sqrt{2} \)

$k$は、⑤の範囲の数なのですから、
\( k = 2-\sqrt{2} \)

答え．\( k = 2-\sqrt{2} \)