問題ページにもどる

この問題のポイント

関数\( f(x) = x^2-2x+k \)を、\( y = x^2-2x+k \)（\( x≧1 \)）　…①とします。
この関数の逆関数\( f^{-1}(x) \)は、\( x = y^2-2y+k \)（\( y≧1 \)）　…②とおけます。

①のグラフと②のグラフが共有点を持つのですから、その共有点の座標\( (x,y) \)は、①と②をともに満たす点です。それが２つあるということは、①と②の連立方程式の解が２つあればよいということになります。

では、連立方程式を解く要領で①-②を計算すると、
\( y-x = x^2-2x-y^2+2y \)
\( x^2-x-y^2+y = 0 \)
\( (x-y)(x+y-1) = 0 \)

ここで、\( x≧1 \),\( y≧1 \)だったのですから、
\( x+y-1≧1 \)
よって、\( x-y = 0 \)　つまり　\( x = y \)が成り立ちます。

\( x = y \)を①に代入すると、
\( x = x^2-2x+k \)
\( x^2-3x+k = 0 \)

\( g(x) = x^2-3x+k \)として、共有点が２つあるのですから、$g(x)$は２つの解を持てばよいことになります。
よって、$g(x)$が\( x≧1 \)の範囲で２つの解を持つ条件を考えればいいですね。

まず、方程式の判別式\( D = (-3)^2-4・1・k = 9-4k≧0 \) …③
$g(x)$を平方完成すると、
\( \displaystyle x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+k \)
\( \displaystyle \left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+k \)

\( x≧1 \)の範囲で２つの解を持つのですから、
軸\( \displaystyle \frac{3}{2}≧1 \)
そして、\( g(1) = 1^2-3・1+k = 1-3+k≧0 \) … ④

③を解くと\( \displaystyle k≦\frac{9}{4} \)
④を解くと \( k≧2 \)

③と④を両方満たさないといけませんから
\( \displaystyle 2≦k≦\frac{9}{4} \)

答え．　\( \displaystyle 2≦k≦\frac{9}{4} \)