高校数学（２・Ｂ）の問題演習
令和3年7月15日
高次方程式
※関西学院大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること
- 不等号は、半角記号を使って、＜は<、＞は>、≦は<=、≧は>=と入力すること。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら[1]/[4]のように、(分子)/(分母)の形でそれぞれ[ ]で囲って入力すること。文字の係数が分数の場合、xの係数が4分の1なら[x]/[4]、yの係数が5分の3なら[3y]/[5]のように、分子部分に文字を含めること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。
$x$の関数\( f(x) = 2x^3-3(1+a)x^2+6ax \)（\( 0＜a＜1 \)）がある。
（１）方程式\( f(x) = 0 \)が異なる3つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ。
（２）方程式\( f(x) = 0 \)が1つの実数解と異なる2つの虚数解\( p±qi \)をもつとする（$p$，$q$は実数）。このとき、\( S = 3p^2-5q^2 \)を$a$の式で表し、$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ。
令和3年4月11日
3次関数と接線
※大阪大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること
- 不等号は、半角記号を使って、＜は<、＞は>、≦は<=、≧は>=と入力すること
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
曲線$C$：\( y = x^3-kx \)（$k$は実数）を考える。$C$上に点\( A(a,a^3-ka) \)（\( a ≠ 0 \)）をとる。次の問いに答えよ。
（１）点$A$における$C$の接線を$l_1$とする。$l_1$と$C$の$A$以外の交点を$B$とする。$B$の$x$座標を求めよ。
（２）点$B$における$C$の接線を$l_2$とする。$l_1$と$l_2$が直交するとき、$a$と$k$がみたす条件を求めよ。
（３）$l_1$と$l_2$が直交する$a$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ。
令和2年12月27日
空間ベクトルの演算・内積
※関西学院大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 答えに根号が入る場合は、たとえば「ルート3」なら√3のように√を使って入力し、それ以外は半角で入力すること。
- 分数は、たとえば「4分の1」なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
2点\( A(1,2,-1) \)，\( \displaystyle B\left(-\frac{1}{2},\frac{7}{2},5\right) \)を結ぶ線分$AB$を2：1に内分する点を$C$とすると、$C$の座標は ア である。ただし、 ア は\( (s,t,u) \)の形で答えよ。$O$を原点とし、内積\( \overrightarrow{OC}・\overrightarrow{OD} \)が内積\( \overrightarrow{OC}・\overrightarrow{OA} \)の2倍と等しく、\( \overrightarrow{CD} \)が\( \overrightarrow{CA} \)に垂直であるような点$D$の座標を\( (a,b,c) \)とおく$a$，$b$を$c$を用いて表すと$a$ = イ ，$b$ = ウ となる。よって、線分$OD$の長さが最小となるのは、$c$ = エ のときであり、そのときの最小値は オ である。
令和2年9月13日
積和・和積の公式
※関西大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること
- 不等号は、半角記号を使って、＜は<、＞は>、≦は<=、≧は>=と入力すること
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
三角形$ABC$の3つの内角を$A$，$B$，$C$とする。次の問いに答えよ。
（１）\( \displaystyle A = \frac{π}{3} \)のとき、\( \sin{B}\sin{C} \)の値の範囲を求めよ。
（２）$A$が一定のとき、\( \sin{B}+\sin{C} \)の値の範囲を$A$を用いて表せ。
（３）$A$が一定のとき、\( \sin{B}\sin{C} \)の値の範囲を$A$を用いて表せ。
令和2年6月7日
条件つきの恒等式
※神戸学院大学の入試問題です。（半角数字のみで入力すること）
\( a-2b+2c+1 = 0 \)，\( 3a+2b-6c+1 = 0 \)を満たすどんな実数$a$，$b$，$c$に対しても、等式\( a^2x+b^2y+c^2z = 1 \)が成り立つという。このときの、$x$，$y$，$z$の値を求めよ。