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高校数学（２・Ｂ）の問題演習

令和3年7月15日

高次方程式

※関西学院大学の入試問題です。

※入力は次の指示にしたがってください。

• すべて半角で入力すること


• 不等号は、半角記号を使って、＜は<、＞は>、≦は<=、≧は>=と入力すること。


• 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら[1]/[4]のように、(分子)/(分母)の形でそれぞれ[　]で囲って入力すること。文字の係数が分数の場合、xの係数が4分の1なら[x]/[4]、yの係数が5分の3なら[3y]/[5]のように、分子部分に文字を含めること。


• 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。

$x$の関数$f(x) = 2x^3-3(1+a)x^2+6ax$（$0＜a＜1$）がある。

（１）方程式$f(x) = 0$が異なる3つの実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ。

（２）方程式$f(x) = 0$が1つの実数解と異なる2つの虚数解$p±qi$をもつとする（$p$，$q$は実数）。このとき、$S = 3p^2-5q^2$を$a$の式で表し、$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ。

$S$ =

$a$ = のとき最小値

解答・解説はこちら

令和3年4月11日

3次関数と接線

※大阪大学の入試問題です。

※入力は次の指示にしたがってください。

• すべて半角で入力すること


• 不等号は、半角記号を使って、＜は<、＞は>、≦は<=、≧は>=と入力すること


• 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること

曲線$C$：$y = x^3-kx$（$k$は実数）を考える。$C$上に点$A(a,a^3-ka)$（$a ≠ 0$）をとる。次の問いに答えよ。

（１）点$A$における$C$の接線を$l_1$とする。$l_1$と$C$の$A$以外の交点を$B$とする。$B$の$x$座標を求めよ。

（２）点$B$における$C$の接線を$l_2$とする。$l_1$と$l_2$が直交するとき、$a$と$k$がみたす条件を求めよ。

（３）$l_1$と$l_2$が直交する$a$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ。

解答・解説はこちら

令和2年12月27日

空間ベクトルの演算・内積

※関西学院大学の入試問題です。

※入力は次の指示にしたがってください。

• 答えに根号が入る場合は、たとえば「ルート3」なら√3のように√を使って入力し、それ以外は半角で入力すること。


• 分数は、たとえば「4分の1」なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。

2点$A(1,2,-1)$，$\displaystyle B\left(-\frac{1}{2},\frac{7}{2},5\right)$を結ぶ線分$AB$を2：1に内分する点を$C$とすると、$C$の座標は   ア   である。ただし、   ア   は$(s,t,u)$の形で答えよ。$O$を原点とし、内積$\overrightarrow{OC}・\overrightarrow{OD}$が内積$\overrightarrow{OC}・\overrightarrow{OA}$の2倍と等しく、$\overrightarrow{CD}$が$\overrightarrow{CA}$に垂直であるような点$D$の座標を$(a,b,c)$とおく$a$，$b$を$c$を用いて表すと$a$ =    イ   ，$b$ =    ウ   となる。よって、線分$OD$の長さが最小となるのは、$c$ =    エ   のときであり、そのときの最小値は   オ   である。

ア

イ

ウ

エ

オ

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令和2年9月13日

積和・和積の公式

※関西大学の入試問題です。

※入力は次の指示にしたがってください。

• すべて半角で入力すること


• 不等号は、半角記号を使って、＜は<、＞は>、≦は<=、≧は>=と入力すること


• 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること

三角形$ABC$の3つの内角を$A$，$B$，$C$とする。次の問いに答えよ。

（１）$\displaystyle A = \frac{π}{3}$のとき、$\sin{B}\sin{C}$の値の範囲を求めよ。

（２）$A$が一定のとき、$\sin{B}+\sin{C}$の値の範囲を$A$を用いて表せ。

（３）$A$が一定のとき、$\sin{B}\sin{C}$の値の範囲を$A$を用いて表せ。

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令和2年6月7日

条件つきの恒等式

※神戸学院大学の入試問題です。（半角数字のみで入力すること）

$a-2b+2c+1 = 0$，$3a+2b-6c+1 = 0$を満たすどんな実数$a$，$b$，$c$に対しても、等式$a^2x+b^2y+c^2z = 1$が成り立つという。このときの、$x$，$y$，$z$の値を求めよ。

$x$ =
$y$ =
$z$ =

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