高校数学（１・Ａ）の問題演習
令和3年5月19日
根号のはずしかた
※（ ）内の大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
（１）\( x = 2a+1 \)のとき、\( \sqrt{x^2-8a}+\sqrt{a^2+x} \)を簡単にせよ。
（美作大）
（２）実数$x$，$y$をそれぞれ\( x = \sqrt{6-\sqrt{32}} \)，\( y = \sqrt{6+\sqrt{32}} \)とするとき、\( x^3+2x^2y+2xy^2+y^3 \)の値を求めよ。
（摂南大）
（３）\( \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{a}-\sqrt{b} \)を満たす有理数$a$，$b$を求めよ。
（福島県立医科大）
令和3年2月7日
円に内接する四角形
※新潟大学の入試問題です。
四角形$ABCD$は$∠B$ = 120°，\( CD = DA = AC \)を満たしているものとする。
（１）\( AB＜BD \)であることを示せ。
（２）線分$BD$上に\( AB = BE \)となる点$E$をとるとき、$∠BAE$の大きさを求めよ。（半角数字のみで入力すること）
（３）\( AB+BC = BD \)であることを示せ。
令和2年10月25日
同じものを含む順列
※北里大学の入試問題です。（すべて半角で入力すること）
7個の数字1，1，2，3，4，5，5の中から5個の数字を選んで1列に並べ、5桁の数を作る。
（１）5桁の数は全部で ソ 通りできる。これらの5桁の数を小さい方から順に並べたとき、23145は タ 番目の数である。
（２）同じ数字が隣り合わないような5桁の数は全部で チ 通りできる。
令和2年7月23日
二次方程式の解
※追手門学院大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること
- 不等号は、半角記号を使って、＜は<、＞は>、≦は<=、≧は>=と入力すること
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
- 分数の前にマイナスの記号をつけるときは、(分子)/(分母)の形の前に半角でマイナスの記号をおくこと
$f(x)$は
\( \displaystyle f(x) = \frac{2x-1}{x^2-2x+3} \)
で定義される関数とする。
（１）方程式\( f(x) = a \)が実数の解をもつような$a$の範囲を求めよ。
（２）$f(x)$が最大値をとる$x$の値と最小値をとる$x$の値を求めよ。
令和2年4月19日
余りによる分類
※関西大学の入試問題です。
$a$，$b$，$c$を正の整数とする。
（１）$a^2$を3で割った余りは0または1であることを示せ。
（２）\( a^2+b^2 = c^2 \)を満たすとき、$a$，$b$，$c$の積$abc$が3の倍数であることを示せ。
（３）\( a^2+b^2 = 225 \)を満たす$a$，$b$の値を求めよ。（半角のみで入力し、答えが複数ある場合は半角のコンマ（,）でつなぐこと）