高校数学（１・Ａ）の問題演習
十分条件と必要条件
※大阪府立大学の入試問題です。
$m$，$n$は正の整数を表すとする。次のことを示せ。
（１）$n-1$が7の倍数であることは、$n^3-1$が7の倍数であることの十分条件だが必要条件でない。
（２）$m^2$が$n$の倍数であることは、$m^2$が$n^2$の倍数であることの必要条件だが十分条件でない。
カードの取り出しに関する確率
※2012（平成24）年のセンター試験の問題を参考に作られています。
1から9までの数字が一つずつ書かれた9枚のカードから5枚のカードを同時に取り出す。次のように得点を定める。
- 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがない場合は、
得点を0点とする。 - 取り出した5枚のカードの中に5と書かれたカードがある場合、
この5枚を書かれている数の小さい順に並べ、5と書かれたカードが小さい方から$k$番目にあるとき、得点を$k$点とする。
得点が0点となる確率は\( \displaystyle \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}} \)である。得点が1点となる確率は\( \displaystyle \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サシス}} \)で、得点が2点となる確率は\( \displaystyle \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソタ}} \)、得点が3点となる確率は\( \displaystyle \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \)である。
２変数関数
次の$F$の最大値・最小値を求めなさい。ただし、その最大値や最小値をとるときの$x$、$y$の値は求めなくてよい。
（半角で入力して答えること。答えが分数になる場合は、たとえば「3分の1」なら「1/3」と入力すること）
（１）\( x≧0 \)，\( y≧-1 \)の範囲で\( x+y = 1 \)のときの\( F = x^2+y^2 \)
（２）\( \sqrt{x}+\sqrt{y} = 1 \)のときの\( F = x+y \)
方程式の整数解
※学習院大学の入試問題です。
\( xy = 2x+4y-5 \)を満たす正の整数$x$，$y$の組をすべて求めよ。
（$x$が小さな組から「(2,3),(4,5),…」という要領で答え、かっこや記号を含めすべて半角で入力すること）
中央値のとりうる値
あるイベントに来ていた男性を無作為に10人選び、年齢をたずねた結果、以下のようになった。
18，44，36，24，16，41，48，22，30，$a$ （単位は歳）
$a$の値がわからないとき、この10人のデータの中央値の値は何通りあると考えられるか答えなさい。