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この問題のポイント

中央値とは、データを大きさの順に並べたときに真ん中にくるデータの値のことです。
データが偶数個あるときは、真ん中にくるデータは真ん中の2個の数の平均が中央値となります。

たとえば、今回の問題の場合でいうと、$a$以外の与えられた年齢のデータを大きさの順に並べると、

16，18，22，24，30，36，41，44，48

となります。ここには9個のデータがあり、真ん中のデータは30です。

しかし実際は、$a$も含めてデータは10個なので、中央値を求めるには2つのデータが必要です。よって、30の隣のデータである24か36のどちらかとの平均をとることになると考えられます。
また、$a$はいくつかわからないのですから、ひょっとすると、30と$a$の平均が中央値になる可能性もあります。

なので、$a$の値を場合分けして、$a$がどの範囲のときに、30とどの数字との平均を求めればいいのかを考えましょう。範囲の分かれ目となりそうな数字は24と36になりそうですね。

［1］\( a≦24 \)のとき

真ん中のデータは24と30になりますので、中央値は
\( \displaystyle \frac{24+30}{2} \)

［2］\( 24＜a≦36 \)のとき

真ん中のデータは$a$と30になりますので、中央値は
\( \displaystyle \frac{a+30}{2} \)

［3］\( a＞36 \)のとき

真ん中のデータは30と36になりますので、中央値は
\( \displaystyle \frac{30+36}{2} \)

これらをまとめると、中央値はこのように言うことができます。
\( \displaystyle \frac{a+30}{2}（24≦a≦36） \)

つまり、$a$は24から36までの整数が入ると考えられるわけなので（$a$はもともと年齢を表していたので整数です）、24から36までに整数が何個あるかを考えればいいわけです。その個数は、
36-24+1 = 13個

つまり、中央値としては13個のパターンが考えられることになります。

答え．　　13通り