中学数学の問題演習
令和4年11月2日
平方根と式の値
※（ ）内の入試問題で出題された問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 半角で入力すること。根号の√は「ルート」で変換して出るものを入力すること。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
- 無理数は、たとえば「ルート3」なら√3のように、√につづけて入力すること。
（１）\( \displaystyle a = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \)，\( \displaystyle b = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} \)のとき、\( 15a^5b^4÷5a^3b^2 \)の値を求めよ。
（東京・日本大豊山）
（２）\( x = \sqrt{2}+1 \)のとき、\( (x-1)^2(x^2-2x-1) \)の値を求めなさい。
（東京・豊島岡女子学園）
（３）\( x = 4-2\sqrt{3} \)，\( y = \sqrt{3}-1 \)のとき、\( x^2+4xy+5y^2+2y+1 \)の値を求めなさい。
（東大寺学園）
（４）\( \displaystyle x = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \)，\( \displaystyle y = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \)のとき、\( x^{12}y^{10}-x^{10}y^{12} \)の値を求めなさい。
（函館ラ・サール）
令和4年8月11日
平行四辺形の性質
※過去の富山県の公立高校入試問題で出題された問題です。（数字やアルファベットは半角で入力すること）
$AB$ = 6cm，$BC$ = 8cmの平行四辺形$ABCD$がある。この平行四辺形の辺$BC$上に点$E$をとり、$A$と$E$を結ぶ。$E$のとり方を（１）～（２）のように変えたとき、次の問いに答えなさい。
（１）図1のように、$AE$が$∠BAD$の二等分線となるように$E$をとるとき、$EC$の長さを求めなさい。
（２）図2のように、$AE = AB$となるように$E$をとり、$A$と$C$，$D$と$E$をそれぞれ結ぶ。
① $△AED$と合同な三角形を2つあげなさい。
② ①であげた2つの三角形のどちらかを選び、$△AED$と合同であることを証明しなさい。
令和4年5月4日
くり返しの規則性
※（ ）内の高校の入試問題を参考に作られています。（半角数字のみ入力すること）
（１）$2^{2018}$の一の位の数を求めよ。
（茨城・江戸川学園取手）
（２）\( \displaystyle \frac{20}{7} \)を小数で表したとき、小数第200位の数を求めなさい。
（東京・淑徳）
（３）次の問いに答えなさい。
（近畿大和歌山）
① 1から100までのすべての整数を3で割った余りの和を求めなさい。例えば、1から4までのすべての数字を3で割った余りの和は、
1+2+0+1 = 4
である。
② 1から$n$までのすべての整数を5で割った余りの和が96になるような自然数$n$を求めなさい。
令和4年1月20日
二次方程式とその解
※東京都の成城高校の入試問題です。（半角数字のみ入力すること）
$x$についての2次方程式
\( x^2-ax+30 = 0 \)…①
\( x^2-22x+3b = 0 \)…②
がある。$a$，$b$を自然数とするとき、
（１）方程式①が$x = 5$を解にもつような$a$の値は である。
（２）方程式①の解が整数となるような$a$の値は 個ある。
（３）方程式①と②が共通の整数の解をもつような$a$と$b$の値の組は 通りある。
令和3年10月17日
対頂角・同位角・錯角
※（ ）内の入試問題で出題された問題です。（半角数字のみ入力すること）
（１）右の図で、2直線ℓ，$m$は平行であり、点$D$は$∠BAC$の二等分線と直線$m$との交点である。このとき、$∠x$の大きさを求めよ。
（京都府公立高校入試）
（２）次の図で、ℓ//$m$であるとき、$∠x$の大きさを求めなさい。
（千葉県公立高校入試）
（３）図のように、$△ABC$は$∠A$ = 80°の二等辺三角形で、2直線$L$，$G$は平行である。このとき、\( ∠x+∠y \)を求めなさい。
（東京・明治学院）
（４）右の図のように、平行四辺形$ABCD$がある。辺$DC$の延長上に点$E$を$∠AED$ = 46°となるようにとったら、\( \displaystyle ∠BAE = \frac{2}{5}∠BAD \)となった。このとき、$∠ADC$の大きさを求めなさい。
（東京・城北）