この問題のポイント
どこからどこまでの部分がくり返されているのかをつかみ、求めたいものが何回目にあたるのかを考えよう！
（１）2を2018回かけて求めるというのは、もちろんムリでしょう。しかし、実際に2をかけていくしか求めることはできなさそうです。問題では、一の位だけ求めればいいのですから、ひとまず一の位だけを考えて、2をどんどんかけてみましょう。
何もかけなければ2
$2^2$ = 4
$2^3$ = 4×2 = 8
$2^4$ = 8×2 = 16なので一の位は6
$2^5$ = 16×2 = 32なので一の位は2
$2^6$ = 32×2 = 64なので一の位は4
$2^7$ = 64×2 = 128なので一の位は8
$2^8$ = 128×2 = 256なので一の位は6
$2^9$ = 256×2 = 512なので一の位は2
$2^{10}$ = 512×2 = 1024なので一の位は4
このように、一の位は2→4→8→6という4つの数字のくり返しになっているとわかります。ですから、2018回かけたときはこの数字のうち何番目の数字になるのかがわかればいいことになりますね。
4つの数字のくり返しなので、2018÷4 = 504あまり2
つまり、2018回かけたときまでに504回のくり返しがあったことになります。そして、2018回目はそのくり返しのあとの2番目の数字だということになるので、一の位は4です。
（２）\( \displaystyle \frac{20}{7} \)を小数になおすと
2.857142857142857…
よく見ると、小数点以下は857142のくり返しになっています。
よって、これも（１）と同じように、わざわざ小数第200位まで計算しなくてもよく、小数第200位のところはこの6つの数字のうち何番目になるかを考えればいいのです。
6つの数字のくり返しなので、200÷6 = 33あまり2
つまり、小数第200位までに33回のくり返しがあって、小数第200位はそのくり返しのあとの2番目の数字だということになるので5とわかります。
（３）① 1から100まですべて3で割って余りを求めるわけにはいきませんが、これまでと同じようにいくつかの数を3で割った余りをみていきましょう。
1→3で割ると0あまり1
2→3で割ると0あまり2
3→3で割ると1（割り切れるのであまり0）
4→3で割ると1あまり1
5→3で割ると1あまり2
6→3で割ると2（割り切れるのであまり0）
7→3で割ると2あまり1
8→3で割ると2あまり2
9→3で割ると3（割り切れるのであまり0）
10→3で割ると3あまり1
このように、1，2，0という3つの数字のくり返しになっているとわかります。よって、100÷3 = 33あまり1ですので、「1，2，0」というくり返しは33回あり、最後にくり返される数字の順番である1番目の1がたされることになります。
1+2+0 = 3で、これが33回分あるので、3×33 = 99
そして、そこに1が足されるので、求める値は99+1 = 100
② さっきの①と同じように考えれば、1，2，3，4，0という5つの数字のくり返しになっているとわかります。1+2+3+4+0 = 10ですから、余りの和が96になるには、「1，2，3，4，0」という5つの数字のくり返しが9回あったことになります。
しかし、9回くり返しがあった時点では10×9 = 90ですから、まだ6足りません。1+2+3 = 6ですから、そのくり返しが終わった後にまだ3つ数字が続いていたことになります。
よって、$n$の値は5×9+3 = 48
答え．
（１）4 （２）5
（３）① 100 ② $n$ = 48