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中学数学の問題演習

令和6年2月27日

一次関数と速さ・距離

※東京都の成城学園高校の入試問題です。

中学 数学 問題演習 切断する立方体の見取り図

Ⓐ地からA君が、Ⓑ地からB君が、Ⓒ地からC君が午後0時に出発してⒹ地に向かう。右の図は、Ⓐ地からの道のりと時間との関係を表したものである。ここで、A君,B君,C君の速さの比は5:3:1であり、Ⓑ地とⒸ地の間の道のりは32kmである。

午後2時にB君はA君に追い越され、午後5時にA君とC君は同時にⒹ地に着いた。

ただしⒶ地からⒹ地までは一本道で、Ⓐ地,Ⓑ地,Ⓒ地,Ⓓ地の順にあるものとする。次の問いに答えなさい。

(1)C君がⒹ地に向かうときの速さを毎時akmとし、Ⓐ地とⒷ地の間の道のりをbkmとしたとき、abの値を求めよ。(半角数字のみ入力すること)

a =
b =

(2)A君が、B君の位置とC君の位置のちょうど真ん中の位置にくるのは午後何時何分か。(半角数字のみ入力し、分の数値が0~9の1けたの場合は00~09の2けた表記で入力すること)

午後

(3)C君はⒹ地で休んだ後、Ⓒ地へ毎時8kmの速さで同じ道を戻った。途中、B君と午後6時にすれ違った。C君は何分間休んだか。(半角数字のみ入力すること)

分間

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令和5年11月22日

立方体の切断面

※茨城県の茗溪学園高校の入試問題を参考に作られています。(数字は半角で入力すること)

中学 数学 問題演習 切断する立方体の見取り図

1辺の長さが6cmの立方体ABCD-EFGHがあり、辺EFFGの中点をそれぞれMNとする。点PFを出発して毎秒1cmの速さで辺上をBCDを経由してHまで進むものとする。3点MNPを通る平面でこの立方体を切ったとき、次の問いに答えなさい。

(1)切り口の図形はn角形となる。nにあてはまる整数をすべて求めよ。

(2)切り口が正三角形になるのは、点PFを出発してから何秒後か求めよ。

秒後

(3)切り口が正六角形になるのは、点PFを出発してから何秒後か求めよ。

秒後

(4)点PFを出発してから11秒後の切り口の形を答えよ。

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令和5年8月16日

円周角の定理の逆

※東京都の豊島岡女子学園高校の入試問題です。

中学 数学 問題演習 円周角の定理の逆を利用する問題の正三角形ABC

右の図の正三角形ABCにおいて、BDEGDEAG = CF = 1,AD = 2となるように、辺ABBC上にそれぞれ点DEを、辺CA上に2点FGをとります。

(1)DEGの大きさを求めなさい。

DEG = °

(2)FGの長さを求めなさい。

FG =

(3)3点EFGを通る円の半径を求めなさい。

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令和5年5月18日

数え上げ方と確率

※(  )内の入試問題で出題された問題です。(半角のみで入力し、分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること)

(1)5本のくじの中に3本の当たりくじが入っている。
(東京・日本大第一)


① 同時に2本引くとき、2本とも当たりくじである確率を求めなさい。

② Aさんが先に1本引き、残りの中からBさんが1本引くとき、AさんがはずれBさんが当たる確率を求めなさい。

(2)-1,0,1,2,3の数字を1つずつ書いた5個の玉を入れた袋がある。この中から玉を1個取り出して数字を調べ、それを袋に戻してから、また玉を1個取り出すとき、取り出した2個の玉の数字の積が正となる確率を求めなさい。また、この袋から玉を同時に2個取り出すとき、2個の玉の数字の積が負となる確率を求めなさい。
(愛知・名城大附)


正となる確率
負となる確率

(3)袋の中に、赤玉3個,白玉2個が入っている。そこから同時に2個を取り出すとき、2個とも同じ色である確率を求めなさい。
(東京・日本大豊山女子)


(4)袋の中に赤玉,青玉,黄玉が各色2個ずつ合わせて6個入っており、同じ色の2個の玉には、一方に1,もう一方に2の数字が書いてある。この袋の中から玉を1個取り出し、玉の色と、書いてある数字を記録して、もとに戻す。もう一度袋の中から玉を1個取り出し、玉の色と、書いてある数字を記録する。1回目に取り出した玉と2回目に取り出した玉について、色が異なり数字が一致する確率を求めなさい。ただし、どの玉を取り出す確率もすべて等しいものとする。
(東京都立国分寺)


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令和5年2月7日

食塩水の濃度と一次方程式

※城北埼玉高校の入試問題です。

※入力は次の指示にしたがってください。

容器Aには濃度x%の食塩水が100g入っている。容器Aから別の空の容器に50gを移し、それに濃度10%の食塩水50gを加えてよくかきまぜ、そこから50gを容器Aに戻して、よくかきまぜる、という操作をくり返し行う。

(1)1回の操作後の容器Aの食塩水の濃度をxで表せ。

(2)2回の操作後の容器Aの食塩水の濃度をxで表せ。

(3)3回の操作後、Aの濃度は8.5%となった。xの値を分数で求めよ。

x =

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