高校数学（３・Ｃ）の問題演習
令和5年4月2日
微分可能性と微分係数
※京都工芸繊維大学の入試問題です。
$a$を実数とする。すべての実数$x$で定義された関数\( f(x) = |x|(e^{2x}+a) \)は$x = 0$で微分可能であるとする。
（１）$a$および$f'(0)$の値を求めよ。（半角のみ入力すること）
（２）導関数$f'(x)$は$x = 0$で連続であることを示せ。
（３）右側極限\( \displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{f'(x)}{x} \)を求めよ。更に、$f'(x)$は$x = 0$で微分可能でないことを示せ。
令和4年12月29日
媒介変数と面積
※東京工業大学の入試問題です。
次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：
\(\left\{\begin{array}{l}x = 3\cos{t}-\cos{3t}\\y = 3\sin{t}-\sin{3t}\end{array}\right.\)
ただし\( \displaystyle 0≦t≦\frac{π}{2} \)である。
（１）\( \displaystyle \frac{dx}{dt} \)および\( \displaystyle \frac{dy}{dt} \)を計算し、$C$の概形を図示せよ。
（２）$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。（半角で入力すること。円周率$π$は「パイ」で変換して出るものを入力すること。）
令和4年10月2日
双曲線の定義
※大阪府立大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること。ただし、根号はルートの記号（√）を入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
- 根号が入る場合は、たとえば「ルート2」なら√2のように√につづけて数字を入力すること。
楕円$C_1$：\( \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5} = 1 \)の焦点を$F$，$F'$とする。ただし$F$の$x$座標は正である。正の実数$m$に対し、2直線\( y = mx \)，\( y = -mx \)を漸近線にもち、2点$F$，$F'$を焦点とする双曲線を$C_2$とする。第1象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$P$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
（１）$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ。
（２）線分$FP$および線分$F'P$の長さを$m$を用いて表せ。
（３）$∠F'PF$ = 60°となる$m$の値を求めよ。
令和4年6月26日
接線と法線
※（ ）内の大学の入試問題を参考に作られています。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら[1]/[3]のように、[分子]/[分母]の形で入力すること。負の分数の場合、半角の-（マイナス）を分子のところに含めること（例：[-3]/[4]など）。
- 文字の係数が分数の場合、たとえばaの係数が5分の3なら[3a]/[5]、bの係数が7分の1なら[b]/[7]のように、分子のところに文字を含めること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。
（１）曲線\( y = xe^x+1 \)の\( x = 1 \)に対応する点における接線と法線の方程式を求めよ。
（福島大）
（２）曲線\( x^2+2xy-2x+y-1 = 0 \)上の点(0,1)における接線の方程式を求めよ。
（富山県立大）
（３）曲線\( y = e^x \)上の点$A$における接線と法線が$x$軸と交わる点を、それぞれ$B$，$C$とする。$△ABC$の面積が5のとき、次の問に答えよ。
（信州大）
① 点$A$の座標を求めよ。
② $△ABC$の外心の座標を求めよ。
令和4年3月20日
合成関数
※小樽商科大学の入試問題を参考に作られています。
\( -1＜x＜1 \)を定義域とする\( \displaystyle f_p(x) = \frac{x-p}{1-px} \)，\( \displaystyle f_q(x) = \frac{x-q}{1-qx} \)（\( -1＜p＜1 \)，\( -1＜q＜1 \)）について、次の問いに答えよ。
（１）定義域内のすべての$x$に対して、\( -1＜f_q(x)＜1 \)を示せ。
（２）定義域内のすべての$x$に対して、\( \displaystyle f_p(f_q(x)) = \frac{x-r}{1-rx} \)を満たすとき、$r$を$p$と$q$を用いて表し、\( -1＜r＜1 \)を示せ。
（３）定義域内のすべての$x$に対して、\( f_p(f_q(x)) = f_q(x) \)を満たす$p$を求めよ。（半角のみで入力すること）