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この問題のポイント

（１）$y = xe^x+1$の$x = 1$に対応する点とは$(1,e+1)$です。まず接線についてですが、数学Ⅱで学習したとおり、関数$y = f(a)$上で$x$座標が$a$である点における接線の傾きは$f'(a)$でしたね？

$y = xe^x+1$を微分すると$y' = (x+1)e^x$なので、$(1,e+1)$における接線の傾きは$(1+1)e^1 = 2e$です。

そして、点$(a,b)$を通り、傾きが$m$の直線の方程式は$y-b = m(x-a)$と表せるのですから、$(1,e+1)$における接線の方程式は、
$y-(e+1) = 2e(x-1)$
$y = 2ex-2e+e+1$
$∴y = 2ex-e+1$

そして法線についてですが、法線とは接線と垂直に交わる直線のことです。2直線が垂直に交わっているとき、その2本の直線の傾きどうしをかけあわせると-1になるんですから、法線の傾きは$\displaystyle -\frac{1}{f'(a)}$と表せます。

よって、$(1,e+1)$における法線の傾きは$\displaystyle -\frac{1}{(1+1)e^1} = -\frac{1}{2e}$なので、法線の方程式は、
$\displaystyle y-(e+1) = -\frac{1}{2e}(x-1)$
$\displaystyle ∴y = -\frac{1}{2e}x+\frac{1}{2e}+e+1$

（２）曲線の方程式がさっきのように$y$ = …の形ではなく、$x$，$y$の方程式として表されています。こういうときは方程式を$x$で微分して導関数$y'$を求めていきます。

この問題の場合は$x^2+2xy-2x+y-1 = 0$…Aを$x$で微分するわけですが、$2xy$の部分は積の微分となることに注意しましょう。つまり、
$(2xy)' = 2(x)'y+2x(y)'$となるので、Aを$x$で微分すると、

$\displaystyle 2x+2y+2x・\frac{dy}{dx}-2+\frac{dy}{dx} = 0$
$\displaystyle (2x+1)\frac{dy}{dx} = -2x-2y+2$
よって、
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-2x-2y+2}{2x+1}$
$\displaystyle = -\frac{2x+2y-2}{2x+1}$（$\displaystyle x \neq -\frac{1}{2}$）

これで$\displaystyle \frac{dy}{dx}$、つまり微分したものが求まりましたので、これを使えば接線の傾きを求めることができます。$\displaystyle \frac{dy}{dx}$の式に$x = 0$，$y = 1$を代入すると、
$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2・0+2・1-2}{2・0+1}$
$\displaystyle = -\frac{0}{1} = 0$

これより、点(0,1)における接線の傾きは0より、接線の方程式は$y = 1$です。

（３）①　接点の座標がわからないと接線を考えることができませんから、点$A$の座標を$(t,e^t)$とおきます。すると、$y' = e^x$より、接線の傾きは$e^t$とおけますから、接線の方程式は、
$y-e^t = e^t(x-t)$

これより、点$B$の座標について、$y$座標は0なので
$-e^t = e^t(x-t)$
という方程式が成り立ちますから、$x-t = -1$となるので、$x = t-1$より$B(t-1,0)$

そして、法線の傾きは$\displaystyle -\frac{1}{e^t}$とわかりますから、法線の方程式は、
$\displaystyle y-e^t = -\frac{1}{e^t}(x-t)$

これより、点$C$の座標について、$y$座標は0なので
$\displaystyle -e^t = -\frac{1}{e^t}(x-t)$
という方程式が成り立ちますから、$\displaystyle x-t = e^{2t}$となるので、$x = e^{2t}+t$より$C(e^{2t}+t,0)$

図より、$△ABC$は底辺が$BC$，高さが点$A$の$y$座標の値に等しいので、面積は、
$\displaystyle \frac{1}{2}\{e^{2t}+t-(t-1)\}×e^t$
$\displaystyle = \frac{1}{2}e^t(e^{2t}+1)$
$\displaystyle = \frac{1}{2}e^{3t}+\frac{1}{2}e^t$

これが5なので、$\displaystyle \frac{1}{2}e^{3t}+\frac{1}{2}e^t = 5$
$e^{3t}+e^t = 10$
$e^t = X$とすると、$X^3+X = 10$より、$(X-2)(X^2+2X+5) = 0$
$X^2+2X+5 = 0$の解はないので、$X = 2$

よって、$e^t = 2$より、$t = \log 2$
$A(t,e^t)$とおいていたので、これを代入して、$A(\log 2,2)$

②　接線と法線は垂直に交わるんですから、$△ABC$において$∠A$ = 90°です。ということは、$△ABC$は直角三角形ですから、これの外接円は右の図のように$BC$を直径とする円ということになります。よって、$△ABC$の外心は$BC$の中点です。

さっきの①で$t = \log 2$と求めたので、$B$の座標は$B(\log 2-1,0)$
$C$の座標は$C(4+\log 2,0)$
よって、その中点は
$\displaystyle \left(\frac{\log 2-1+4+\log 2}{2},0\right)$
つまり$\displaystyle \left(\log 2+\frac{3}{2},0\right)$
これが外心の座標です。

答え．
（１）
接線…$y = 2ex-e+1$
法線…$\displaystyle y = -\frac{1}{2e}x+\frac{1}{2e}+e+1$
（２）
$y = 1$
（３）
①　$A(\log 2,2)$
②　$\displaystyle \left(\log 2+\frac{3}{2},0\right)$

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