高校数学（２・Ｂ）の問題演習
令和7年3月23日
相加平均・相乗平均
※（ ）内の大学の入試問題です。
（１）\( x＞0 \)，\( y＞0 \)のとき、
\( \displaystyle \left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{4}{x}\right) \)
の最小値を求めよ。
（関西学院大）
（２）\( x＞1 \)のとき、\( \displaystyle 4x^2+\frac{1}{(x+1)(x-1)} \)の最小値は\( \boxed{\phantom{ }} \)で、そのときの$x$の値は\( \displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\phantom{ }}}}{\boxed{\phantom{ }}} \)である。
（慶応義塾大）
（３）次の不等式を証明せよ。また、等号が成立する条件を求めよ。
\( x＞0 \)，\( y＞0 \)，\( x+y = 1 \)のとき、\( \displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)≧9 \)
（宮崎大）
（４）$P$は$x$軸上の点で$x$座標が正であり、$Q$は$y$軸上の点で$y$座標が正である。直線$PQ$は原点$O$を中心とする半径1の円に接している。また、$a$，$b$は正の定数とする。$P$，$Q$を動かすとき、\( aOP^2+bOQ^2 \)の最小値を$a$，$b$で表せ。
（一橋大）
令和6年9月29日
三次方程式の整数解
※明治学院大学の入試問題を参考に作られています。
\( f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) \)において、$a$，$b$，$c$は\( a≦b≦c \)，\( a+b+c = 3 \)，\( a^2+b^2+c^2 = 27 \)を満たす定数で、$abc = t$とする。
（１）$f(x)$を$t$を用いて表せ。（半角のみで降べきの順で入力し、累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。）
（２）$t$の値の範囲を求めよ。（半角のみで入力し、不等号の＜，＞，≦，≧はそれぞれ<，>，<=，>=と入力すること。）
（３）\( f(x) = 0 \)の解がすべて整数であるとき、$a$，$b$，$c$の値を求めよ。（半角のみで入力し、答えが複数ある場合はスペースなどあけずに半角の,（コンマ）でつなぐこと。）
令和6年6月2日
加法定理と三角関数の値
※和歌山大学の入試問題です。（すべて半角で入力し、分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。負の分数の場合、半角の-（マイナス）を分子のところに含めて-2/5などのような形で入力すること。）
\( \displaystyle \cosα+\cosβ = \frac{1}{2} \)，\( \displaystyle \sinα+\sinβ = \frac{1}{3} \)のとき、次の問いに答えよ。
（１）\( \cos{(α-β)} \)の値を求めよ。
（２）一般に、次の式が成り立つことを示せ。
\( \cos{2x}+\cos{2y} = 2\cos{(x+y)}\cos{(x-y)} \)
（３）\( \cos{(α+β)} \)の値を求めよ。