この問題のポイント
sin(α+β)，sin(α-β)
cos(α+β)，cos(α-β)
はどのように式変形できるかをおさえる！
（１）$α$や$β$の角度が具体的に与えられていないので、$α-β$の角度がいくらかも当然わかりません。なので、なんらかの計算をして\( \cos{(α-β)} \)を求めるしかありません。そこで利用できるのが加法定理です。
三角関数の加法定理
\( \sin{(α+β)} = \sinα\cosβ+\cosα\sinβ \)
\( \sin{(α-β)} = \sinα\cosβ-\cosα\sinβ \)
\( \cos{(α+β)} = \cosα\cosβ-\sinα\sinβ \)
\( \cos{(α-β)} = \cosα\cosβ+\sinα\sinβ \)
\( \displaystyle \tan{(α+β)} = \frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα\tanβ} \)
\( \displaystyle \tan{(α-β)} = \frac{\tanα-\tanβ}{1+\tanα\tanβ} \)
\( \cos{(α-β)} = \cosα\cosβ+\sinα\sinβ \)なので、\( \cosα\cosβ \)や\( \sinα\sinβ \)がわかればいいですね？それを考えていきましょう。
\( \cosα+\cosβ \)の式から\( \cosα\cosβ \)をつくるには、\( \cosα+\cosβ \)を2乗すればいいですよね。つまり、\( \displaystyle \cosα+\cosβ = \frac{1}{2} \)の両辺を2乗すると、
\( \displaystyle (\cosα+\cosβ)^2 = \frac{1}{4} \)
\( \displaystyle \cos^2α+2\cosα\cosβ+\cos^2β = \frac{1}{4} \)…①
同様に、\( \displaystyle \sinα+\sinβ = \frac{1}{3} \)の両辺を2乗すると、
\( \displaystyle (\sinα+\sinβ)^2 = \frac{1}{9} \)
\( \displaystyle \sin^2α+2\sinα\sinβ+\sin^2β = \frac{1}{9} \)…②
ここで、①と②の左辺どうしと右辺どうしをたすと、
\( \displaystyle \small{\cos^2α+2\cosα\cosβ+\cos^2β+\sin^2α+2\sinα\sinβ+\sin^2β = \frac{1}{4}+\frac{1}{9}} \)
\( \displaystyle \small{\cos^2α+\sin^2α+2\cosα\cosβ+2\sinα\sinβ+\cos^2β+\sin^2β = \frac{13}{36}} \)
\( \displaystyle \small{1+2\cosα\cosβ+2\sinα\sinβ+1 = \frac{13}{36}} \)
\( \displaystyle \small{2\cosα\cosβ+2\sinα\sinβ = -\frac{59}{36}} \)
\( \displaystyle \small{2(\cosα\cosβ+\sinα\sinβ) = -\frac{59}{36}} \)
\( \displaystyle \small{\cosα\cosβ+\sinα\sinβ = -\frac{59}{72}} \)
\( \displaystyle \small{∴\cos{(α-β)} = -\frac{59}{72}} \)
（２）〈指針〉
等式の証明では、左辺や右辺のどちらか、または両方を変形して同じ結果になることを示すというパターンが多いです。この方法を利用する際に、左辺にある\( \cos{2x} \)や\( \cos{2y} \)がカギになります。これの変形には、次の2倍角の公式を使うことができます。
2倍角の公式
\( \sin{2θ} = 2\sinθ\cosθ \)
\( \cos{2θ} = \cos^2θ-\sin^2θ \)
\( = 2\cos^2θ-1 \)
\( = 1-2\sin^2θ \)
\( \displaystyle \tan{2θ} = \frac{2\tanθ}{1-\tan^2θ} \)
※証明
加法定理の$α$と$β$両方に$θ$を代入すると、
\( \sin{2θ} = \sinθ\cosθ+\cosθ\sinθ = 2\sinθ\cosθ \)
\( \cos{2θ} = \cosθ\cosθ-\sinθ\sinθ = \cos^2θ-\sin^2θ \)
さらに、\( \cos^2θ+\sin^2θ = 1 \)より、
\( \cos^2θ-\sin^2θ = \cos^2θ-(1-\cos^2θ) = 2\cos^2θ-1 \)
\( \cos^2θ-\sin^2θ = 1-\sin^2θ-\sin^2θ = 1-2\sin^2θ \)
\( \displaystyle \tan{2θ} = \frac{\tanθ+\tanθ}{1-\tanθ\tanθ} = \frac{2\tanθ}{1-\tan^2θ} \)
この公式を使って、左辺を変形し、右辺も加法定理を使って変形して同じ結果になることを導き出しましょう。\( \cos● \)の形と\( \sin● \)の形が混ざっていると計算しにくいですから、\( \cos● \)の形だけに統一するほうがいいでしょう。
〈証明〉
（左辺）
\( = \cos{2x}+\cos{2y} \)
\( = 2\cos^2x-1+2\cos^2y-1 \)
\( = 2\cos^2x+2\cos^2y-2 \)…③
（右辺）
\( 2\cos{(x+y)}\cos{(x-y)} \)
\( = 2(\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y})(\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}) \)
\( = 2(\cos^2x\cos^2y-\sin^2x\sin^2y) \)
\( = 2\cos^2x\cos^2y-2\sin^2x\sin^2y \)
\( = 2\cos^2x\cos^2y-2(1-\cos^2x)(1-\cos^2y) \)
\( = 2\cos^2x\cos^2y-2(1-\cos^2y-\cos^2x+\cos^2x\cos^2y) \)
\( = 2\cos^2x\cos^2y-2+2\cos^2y+2\cos^2x-2\cos^2x\cos^2y \)
\( = 2\cos^2x+2\cos^2y-2 \)…④
③，④より、
\( \cos{2x}+\cos{2y} = 2\cos{(x+y)}\cos{(x-y)} \)
（３）さっきの（２）で証明した等式が使えないか考えると、\( \cos{2x}+\cos{2y} \)がわかればよさそうですから、それを考えてみましょう。
2倍角の公式より、\( \cos{2α} = \cos^2α-\sin^2α \)，\( \cos{2β} = \cos^2β-\sin^2β \)です。この形はさっきの（１）の①や②の式を使えば導き出せそうですよね？つまり、①と②の左辺どうしと右辺どうしをひくと、
\( \displaystyle \small{\cos^2α+2\cosα\cosβ+\cos^2β-\sin^2α-2\sinα\sinβ-\sin^2β = \frac{1}{4}-\frac{1}{9}} \)
\( \displaystyle \small{\cos^2α-\sin^2α+2(\cosα\cosβ-\sinα\sinβ)+\cos^2β-\sin^2β = \frac{5}{36}} \)
加法定理も利用すると、\( \displaystyle \small{\cos{2α}+2\cos{(α+β)}+\cos{2β} = \frac{5}{36}} \)
\( \displaystyle \small{∴\cos{2α}+\cos{2β} = \frac{5}{36}}-2\cos{(α+β)} \)
さっきの（１）にて\( \displaystyle \cos{(α-β)} = -\frac{59}{72} \)と求めましたから、さっきの（２）で証明した等式より、
\( \cos{2α}+\cos{2β} = 2\cos{(α+β)}\cos{(α-β)} \)
\( \displaystyle \frac{5}{36}-2\cos{(α+β)} = 2\cos{(α+β)}・\left(-\frac{59}{72}\right) \)
\( \displaystyle \frac{5}{36}-2\cos{(α+β)} = 2\cos{(α+β)}・\left(-\frac{59}{72}\right) \)
\( \displaystyle \frac{5}{36}-2\cos{(α+β)} = -\frac{59}{36}\cos{(α+β)} \)
\( \displaystyle \left(2-\frac{59}{36}\right)\cos{(α+β)} = \frac{5}{36} \)
\( \displaystyle \frac{13}{36}\cos{(α+β)} = \frac{5}{36} \)
\( \displaystyle ∴\cos{(α+β)} = \frac{5}{13} \)
答え．
（１）\( \displaystyle \cos{(α-β)} = -\frac{59}{72} \)
（２）（上の〈証明〉参照）
（３）\( \displaystyle \cos{(α+β)} = \frac{5}{13} \)