高校数学（１・Ａ）の問題演習
令和7年6月15日
円に内接する四角形と三角比
※（ ）内の大学の入試問題を参考に作られています。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 根号を示す√は全角で、その他は半角で入力すること
- 無理数は、たとえば「ルート2」と入力するときは√2のように、√の後に数字をそのまま入力すること
- 分数は有理化した形にし、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
（１）半径$r$の円に内接する四角形$ABCD$が
\( \displaystyle AB = \frac{CD}{3} \)，\( \displaystyle AB^2 = \frac{BC}{2} = \frac{DA}{4} \)，\( \displaystyle \cos∠BAD = -\frac{1}{2} \)
をみたしている。このとき、$AB$ = (ア) ，$r$ = (イ) である。
（東京慈恵会医科大）
（２）\( AB = 6 \)，\( BC = 3 \)，\( CD = x \)，\( DA = 5-x \)（\( 0＜x＜5 \)）を満たす四角形$ABCD$が円に内接している。四角形$ABCD$の面積を$S(x)$とするとき、次の問いに答えよ。
（山形大）
① \( \displaystyle \cos∠BAD = \frac{26-5x}{3(10-x)} \)を示せ。
② $S(x)$の最大値を求めよ。また、そのときの$x$の値を求めよ。
（３）四角形$ABCD$が、半径\( \displaystyle \frac{65}{8} \)の円に接している。この四角形の周の長さが44で、辺$BC$と辺$CD$の長さがいずれも13であるとき、残りの2辺$AB$と$DA$の長さを求めよ。
（東京大）
令和6年12月15日
一次不等式の応用
※（ ）内の大学の入試問題です。
（１）ある小学生のグループが図書を購入し、公的施設へ寄贈することを決め、目標額を$a$円とした。1人60円ずつ集めることにして、グループの全員$b$人がお金を出せば目標額を超える予定であったが、メンバーの2割の人が出さなかったので、目標額には980円だけ不足した。そこで、お金を出し合った人達だけで、更に15円ずつ出すことにしたが、その中の3人が出さなかったので、やはり目標額には達しなかった。しかし、その不足額$c$円は書店がサービスで負担してくれたので、予定通りの図書を寄贈できた。このとき、$a$，$b$，$c$の値を求めよ。
（近畿大）
（２）ある鉄道会社では平成26年3月まで、最低運賃130円から1000円まで10円きざみで運賃が設定されていた。この年4月からの消費税率の引き上げに伴い、次のように運賃を改定することにした。
- １．ICカードを利用する場合
改定前の運賃に108/105を乗じ、1円未満の端数を切り捨て、1円単位にした額を新運賃とする。 - ２．券売機等で発売する切符を利用する場合
改定前の運賃に108/105を乗じ、10円未満の端数を切り上げ、10円単位とした額を新運賃とする。
以下の問いに答えよ。
（中央大）
① 切符を利用する場合、20円の値上げとなるような改定前運賃の範囲を求めよ。
② 運賃改定後、ICカードを利用した場合と、切符を利用した場合で運賃の差が最大となるような改定前運賃をすべて求めよ。
③ 切符を利用する場合の規則を、10円未満の端数を切り上げるのではなく、四捨五入する計算方法に変えたとする。このとき、値上げにならない運賃の範囲を求めよ。
令和6年7月17日
背理法
※（ ）内の大学の入試問題です。
（１）自然数$a$，$b$，$c$を3辺の長さとする直角三角形を考える。斜辺の長さは$c$で、$a$，$b$，$c$の最大公約数は1であるとする。以下の問に答えよ。
（広島大）
① $a$，$b$のうち少なくとも一つは奇数であることを示せ。
② $a$，$b$のうち少なくとも一つは偶数であることを示せ。
③ $a$，$b$のうち少なくとも一つは3の倍数であることを示せ。
（２）$n$を1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。
（京都大）
命題p：ある$n$に対して、\( \sqrt{n} \)と\( \sqrt{n+1} \)は共に有理数である。
命題q：すべての$n$に対して、\( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)は無理数である。
令和6年4月15日
期待値の応用
※（ ）内の大学の入試問題です。（すべて半角のみで入力し、分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること）
（１）均質な材質でできた直方体の各面に1から6までの数を1つずつ書いてサイコロの代わりにする（1の反対側が6とは限らない）。ある数の出る確率が\( \displaystyle \frac{1}{9} \)であり、別のある数の出る確率が\( \displaystyle \frac{1}{4} \)であるとする。更に、出る目の数の期待値が3であるとする。3の書かれている面の反対側の面に書かれている数は何か。
（名古屋大）
（２）A，Bの二人がじゃんけんをして、グーで勝てば3歩，チョキで勝てば5歩，パーで勝てば6歩進む遊びをしている。1回のじゃんけんでAの進む歩数からBの進む歩数を引いた値の期待値を$E$とする。
（東京大）
① Bがグー，チョキ，パーを出す確率がすべて等しいとする。Aがどのような確率でグー，チョキ，パーを出すとき、$E$の値は最大となるか。
② Bがグー，チョキ，パーを出す確率の比が\( a：b：c \)であるとする。Aがどのような確率でグー，チョキ，パーを出すならば、任意の$a$，$b$，$c$に対し$E≧0$となるか。