高校数学（１・Ａ）の問題演習
令和6年7月17日
背理法
※（ ）内の大学の入試問題です。
（１）自然数$a$，$b$，$c$を3辺の長さとする直角三角形を考える。斜辺の長さは$c$で、$a$，$b$，$c$の最大公約数は1であるとする。以下の問に答えよ。
（広島大）
① $a$，$b$のうち少なくとも一つは奇数であることを示せ。
② $a$，$b$のうち少なくとも一つは偶数であることを示せ。
③ $a$，$b$のうち少なくとも一つは3の倍数であることを示せ。
（２）$n$を1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。
（京都大）
命題p：ある$n$に対して、\( \sqrt{n} \)と\( \sqrt{n+1} \)は共に有理数である。
命題q：すべての$n$に対して、\( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \)は無理数である。
令和6年4月15日
期待値の応用
※（ ）内の大学の入試問題です。（すべて半角のみで入力し、分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること）
（１）均質な材質でできた直方体の各面に1から6までの数を1つずつ書いてサイコロの代わりにする（1の反対側が6とは限らない）。ある数の出る確率が\( \displaystyle \frac{1}{9} \)であり、別のある数の出る確率が\( \displaystyle \frac{1}{4} \)であるとする。更に、出る目の数の期待値が3であるとする。3の書かれている面の反対側の面に書かれている数は何か。
（名古屋大）
（２）A，Bの二人がじゃんけんをして、グーで勝てば3歩，チョキで勝てば5歩，パーで勝てば6歩進む遊びをしている。1回のじゃんけんでAの進む歩数からBの進む歩数を引いた値の期待値を$E$とする。
（東京大）
① Bがグー，チョキ，パーを出す確率がすべて等しいとする。Aがどのような確率でグー，チョキ，パーを出すとき、$E$の値は最大となるか。
② Bがグー，チョキ，パーを出す確率の比が\( a：b：c \)であるとする。Aがどのような確率でグー，チョキ，パーを出すならば、任意の$a$，$b$，$c$に対し$E≧0$となるか。