高校数学（１・Ａ）の問題演習
令和6年1月11日
最適化問題と二次関数
※立命館大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 不等号は＜，＞，≦，≧のいずれかを入力し、その他はすべて半角で入力すること。
- 分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。文字の係数が分数の場合、xの係数が4分の1ならx/4、yの係数が5分の3なら3y/5のように、分子部分に文字を含めること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること
個人Aの日給$Y_A$は、個人Aの時間給$a$と1日に働く時間$h_A$によって、
\( Y_A = a・h_A \)で決まる。
個人Aの1日の満足度$U_A$は次の式で示されると仮定する。
\( \displaystyle U_A = Y_A-\left(\frac{Y_A}{a}\right)^2 \)
ただし、個人Aは、最も満足度が大きくなるように1日に働く時間$h_A$を調整することで日給$Y_A$を決定し、満足度が同じ値をとるときは、1日に働く時間$h_A$が短くなるような日給$Y_A$を選択する。
〔1〕このとき、個人Aの満足度を最大にするような日給$Y_A$は、 ア であり、その時の満足度$U_A$は、 イ である。
政府が「日給がある水準\( \overline{Y} \)より高い人からは税金を徴収し、\( \overline{Y} \)以下の人には補助金を給付する」政策を新たに実施することにした。ただし、政府は、\( \overline{Y} \)を\( 0＜\overline{Y}≦ \) ア の範囲で設定し、1日あたりの税金・補助金の額はいずれも一定額$T$（$T＞0$）とする。
〔2〕この政策のもとでは、個人Aの満足度$U_A$は、次の式で示されるようになると仮定する。ただし、税金を支払うときの満足度と補助金を受け取るときの満足度が同じ大きさの場合には、税金を支払う方を選択する。
\( \displaystyle U_A = Y_A-T-\left(\frac{Y_A}{a}\right)^2 \)（\( Y_A＞\overline{Y} \)）
\( \displaystyle U_A = Y_A+T-\left(\frac{Y_A}{a}\right)^2 \)（\( Y_A≦\overline{Y} \)）
\( Y_A＞\overline{Y} \)のとき、個人Aの最大の満足度$U_A$は、 ウ になる。
政府が個人Aから税金を徴収するためには、
- \( 0＜\overline{Y}≦ \) ア
- ウ \( \displaystyle ≧\overline{Y}+T-\left(\frac{\overline{Y}}{a}\right)^2 \)
の2つの条件を同時に満たす様に\( \overline{Y} \)を設定する必要がある。いま、\( a = 6 \)，\( T = 2 \)とすると、政府が個人Aから税金を徴収するためには、\( 0＜\overline{Y}≦ \) エ の範囲に\( \overline{Y} \)を設定する必要がある。
〔3〕個人Bの日給や満足度の式は、個人Aと同様に表されると仮定して考える。したがって、個人Bも、最も満足度が大きくなるように1日に働く時間$h_B$を調整することで日給$Y_B$を決定し、満足度が同じ値をとるときは、1日に働く時間$h_B$が短くなるような日給$Y_B$を選択する。また個人Bの時間給$b$は$b＞0$とする。いま、\( \overline{Y} \) = エ ，\( T = 2 \)とする。このとき、個人Bが補助金を受け取ることになる時間給$b$の範囲は オ である。
令和5年10月4日
分数式の不定方程式
※鳥取大学の入試問題です。
$a$，$b$，$c$を正の整数とするとき、等式\( \displaystyle \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right) = 2 \)…①について次の問いに答えよ。
（１）$c = 1$のとき、等式①を満たす正の整数$a$，$b$は存在しないことを示せ。
（２）$c = 2$のとき、等式①を満たす正の整数$a$と$b$の組で$a≧b$を満たすものをすべて求めよ。（スペースなど入れずに半角のみで入力し、答えが複数ある場合は半角のコンマ（,）を使ってつなぐこと）
（３）等式①を満たす正の整数の組\( (a,b,c) \)で$a≧b≧c$を満たすものをすべて求めよ。
令和5年7月5日
正八面体の計量
※順天堂大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 根号を示す√は全角で、その他は半角で入力すること
- 円周率をあらわす$π$は「パイ」で変換して出るものを入力すること
- 分数は有理化した形にし、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
- 負の数である分数を入力する場合は、たとえば4分の1にマイナスをつけたいときは-1/4、5分の2にマイナスをつけたいときは-2/5のように、分子の数に-をつけること
- 無理数は、たとえば「ルート2」と入力するときは√2のように、√の後に数字をそのまま入力すること
1辺の長さが6である正八面体について考える。この正八面体の表面積はア であり、体積はイ である。すべての面に接する球の半径はウ であり、この球の表面積はエ である。
また、1つの頂点を$A$とし、$A$から最も離れた頂点を$B$とする。2点$A$，$B$間の距離はオ である。$A$，$B$を端点としない正八面体の辺上に点$C$をとる。
$AC+BC$が最小となるとき、\( \cos∠ACB \) = カ である。
令和5年3月27日
因数分解
※（ ）内の大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- 半角のみで入力すること
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること
- 文字の係数が分数の場合、たとえばxの係数が4分の1のときはx/4、yの係数が5分の3のときは3y/5のように、分子のところに文字を含める形で入力すること。$●x+■$などのような形の式で係数などが分数になる場合、\( \displaystyle \frac{◆x+▲}{〇} \)のように、一つの分数にまとめなくてよい。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること
（１）次の式を因数分解しなさい。
① （神戸薬科大）
\( (x+1)(y+1)(xy+1)+xy \)
② （静岡理工科大）
\( x^4+5x^2+9 \)
（２）1次式の積\( (x-2)(x+3)(x+4)(x-6) \)は、2次式の積\( (x^2+ax+12)(x^2-bx+12) \)と表すことができる。
また、\( (x-2)(x+3)(x+4)(x-6)+54x^2 \)は、\( (x^2-cx+12)(x^2+dx+12) \)と因数分解できる。ただし、$a$，$b$，$c$，$d$は正の数とする。$a$，$b$，$c$，$d$の値を求めよ。
（防衛医科大学校）
（３）$a$，$b$，$c$を実数として、$A$，$B$，$C$を\( A = a+b+c \)，\( B = a^2+b^2+c^2 \)，\( C = a^3+b^3+c^3 \)とおく。このとき、$abc$を$A$，$B$，$C$を用いて表せ。
（横浜市立大）
令和4年12月23日
方べきの定理
※2021（令和3）年の大学入学共通テストの問題です。（すべて半角で入力すること）
$△ABC$において、\( AB = 3 \)，\( BC = 4 \)，\( AC = 5 \)とする。
$∠BAC$の二等分線と辺$BC$との交点を$D$とすると
\( \displaystyle BD = \frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \)，\( \displaystyle AD = \frac{\fbox{ウ}\sqrt{\fbox{エ}}}{\fbox{オ}} \)
である。
また、$∠BAC$の二等分線と$△ABC$の外接円$O$との交点で点$A$とは異なる点を$E$とする。$△AEC$に着目すると
\( AE = \fbox{カ}\sqrt{\fbox{キ}} \)
である。
$△ABC$の2辺$AB$と$AC$の両方に接し、外接円$O$に内接する円の中心を$P$とする。円$P$の半径を$r$とする。さらに、円$P$と外接円$O$との接点を$F$とし、直線$PF$と外接円$O$との交点で点$F$とは異なる点を$G$とする。このとき
\( AP = \sqrt{\fbox{ク}}r \)，\( PG = \fbox{ケ}-r \)
と表せる。したがって、方べきの定理により\( \displaystyle r = \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \)である。
$△ABC$の内心を$Q$とする。内接円$Q$の半径は\( \fbox{シ} \)で、\( AQ = \sqrt{\fbox{ス}} \)である。また、円$P$と辺$AB$との接点を$H$とすると、\( \displaystyle AH = \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}} \)である。
以上から、点$H$に関する次の(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものは タ である。
(a) 点$H$は3点$B$，$D$，$Q$を通る円の周上にある。
(b) 点$H$は3点$B$，$E$，$Q$を通る円の周上にある。
タ の解答群
| ⓪ | ① | ② | ③ | |
| (a) | 正 | 正 | 誤 | 誤 |
| (b) | 正 | 誤 | 正 | 誤 |