この問題のポイント
気体分子による圧力、気体分子の平均運動エネルギーを求める式を、壁に与えられる力積を通して求めていく過程とともに理解する！
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(1) 過去の「運動量と力積」の問題の解説にもあったとおり、力積は運動量の変化をあらわし、そして運動量は質量×速度で求まる値でした。分子の質量は$m$ですから、あとは速度について考えてみましょう。
問題文にもあるとおり、分子と壁との衝突は弾性衝突となります。はねかえり係数は1ということになりますね？なので、衝突前と衝突後で、分子が運動する向きが逆になるだけで分子の速度は変化しません。よって、衝突前の分子の速度の$x$成分を$v_x$とおいていますから、衝突後の分子の速度は$-v_x$とあらわせます。
よって、衝突による$x$方向の運動量の変化は、衝突後の運動量から衝突前の運動量を引けば求まるので、
\( -mv_x-mv_x = -2mv_x \)
これより、分子が壁から受けた力積は$-2mv_x$とわかります。よって、作用・反作用の法則より、壁が分子から受けた力積、つまり分子が壁に及ぼした力積は$2mv_x$とわかります（作用・反作用の法則より、同じ大きさで逆向きの力となるため）。
(2) 分子と壁との衝突は弾性衝突で、分子の速度は変化しないということは、分子はつねに$v_x$という一定の速度で運動していることになります。
壁に衝突してから再び同じ壁に衝突するには、壁までの距離を往復しなければいけません。1辺の長さが$L$でしたから、これの往復分$2L$の距離を$v_x$の速度で運動するわけなので、（距離）÷（速度）により、\( \displaystyle \frac{2L}{v_x} \)
(3) (2)より、\( \displaystyle \frac{2L}{v_x} \)という時間ごとに1回衝突をすることになるわけですから、時間$t$で衝突する回数を$a$とおくと、次のような比が成り立ちます。
\( \displaystyle \frac{2L}{v_x}：1 = t：a \)
これを$a$について変形すると、
\( \displaystyle a×\frac{2L}{v_x} = t \)
\( \displaystyle a = t÷\frac{2L}{v_x} = \frac{v_xt}{2L} \)
(4) (1)で1回の衝突で壁に及ぼした力積は$2mv_x$と求めました。時間$t$の間に(3)で求めたとおり、\( \displaystyle \frac{v_xt}{2L} \)回の衝突があるわけなので、
\( \displaystyle 2mv_x×\frac{v_xt}{2L} = \frac{mv_x^2t}{L} \)
(5) 力積は過去の「運動量と力積」の問題の解説でもふれているとおり、力の大きさとその力を加えた時間との積（かけ合わせた値）でもあります。よって、(4)で求めた値は$ft$の値でもあります。
つまり、\( \displaystyle ft = \frac{mv_x^2t}{L} \)
この両辺を$t$で割って、\( \displaystyle f = \frac{mv_x^2}{L} \)
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(6) 分子は$y$成分や$z$成分だけに速く運動しているというわけではなく、どの方向に対しても同じ速度で運動しています。なので、速度の$y$成分の2乗の平均も、速度の$z$成分の2乗の平均も\( \overline{v_x^2} \)です。
そして、三平方の定理を使って考えると、分子の速度の2乗は、$x$成分，$y$成分，$z$成分それぞれの速度の2乗をたしたものと等しいです。よって、
\( \overline{v^2} = \overline{v_x^2}+\overline{v_x^2}+\overline{v_x^2} = 3\overline{v_x^2} \)
(7) (5)より、分子1個から壁が受ける力は\( \displaystyle \frac{mv_x^2}{L} \)です。よって、$N$個の分子から壁が受ける力は\( \displaystyle N\frac{m\overline{v_x^2}}{L} \)です。
さらに(6)より、\( \overline{v^2} = 3\overline{v_x^2} \)なので、\( \displaystyle \overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2} \)だから、
\( \displaystyle F = N\frac{m\overline{v_x^2}}{L} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L} \)
(8) (7)にて壁が$N$個の分子から受ける力が求まりました。圧力は（力）÷（面積）で求めることができます。1辺の長さが$L$の壁の面積は$L^2$ですので、これを使って割り算すると、
\( \displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}÷L^2 = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3} \)
問題文にて$V = L^3$と示されていましたから、$L^3$を$V$に置き換えると、
\( \displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V} \)
(9) (8)で求めた圧力の式の両辺に$V$をかけると、「$pV$ = …」という形になります。これは状態方程式$PV = nRT$の左辺と同じ形ですね？そこで、この2つの式を比べてみます。
\( \displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V} \)の両辺に$V$をかけると
\( \displaystyle pV = \frac{Nm\overline{v^2}}{3} \)
状態方程式より、$pV = nRT$だから、\( \displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3} = nRT \)
ちなみに、問題文にあるとおり、$N = nN_0$、つまり\( \displaystyle n = \frac{N}{N_0} \)なので、
\( \displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3} = \frac{N}{N_0}RT \)
両辺を$N$で割って、\( \displaystyle \frac{m\overline{v^2}}{3} = \frac{1}{N_0}RT \)
両辺を3倍すると、\( \displaystyle m\overline{v^2} = \frac{3}{N_0}RT \)
そして、両辺を2で割ると、\( \displaystyle \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}\frac{1}{N_0}RT \)
これが分子1個の運動エネルギーの量になるので、分子$N$個の運動エネルギーはその$N$倍より、\( \displaystyle \frac{3}{2}\frac{N}{N_0}RT \)です。
(10) (9)の解説にもあるとおり、分子1個の運動エネルギーの量は\( \displaystyle \frac{3}{2}\frac{1}{N_0}RT \)です。問題文には気体の温度と分子1個の運動エネルギーの平均の量が与えられていますから、この式を$k$を使った形に変形することを考えましょう。
すると、\( \displaystyle \frac{3}{2}\frac{1}{N_0}RT = \frac{3}{2}\frac{R}{N_0}T = \frac{3}{2}kT \)とできます。
\( \displaystyle ∴\frac{3}{2}k(3.00×10^2) = 6.21×10^{-21} \)
これを解くと、\( k = 1.38×10^{-23} \)[J/K]
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(11) (10)で考えたとおり、分子1個の運動エネルギーについて、\( \displaystyle \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT \)とわかります。気体の温度が高くなればなるほど、分子の速度は速いということになります。
グラフを見ると、Bのほうが、大きい速度の値をもつ分子が多く分布していることがわかります。ということは、状態Bのほうが温度が高いということになりますから、\( T_A＜T_B \)ということになります。
答え．
(1) $2mv_x$ (2) \( \displaystyle \frac{2L}{v_x} \)
(3) \( \displaystyle \frac{v_xt}{2L} \)回 (4) \( \displaystyle \frac{mv_x^2t}{L} \)
(5) \( \displaystyle f = \frac{mv_x^2}{L} \) (6) \( \overline{v^2} = 3\overline{v_x^2} \)
(7) \( \displaystyle F = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L} \) (8) \( \displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V} \)
(9) \( \displaystyle \frac{3}{2}\frac{N}{N_0}RT \) (10) \( k = 1.38×10^{-23} \)[J/K]
(11) (c)