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この問題のポイント

[1]

(1)　過去の「運動量と力積」の問題の解説にもあったとおり、力積は運動量の変化をあらわし、そして運動量は質量×速度で求まる値でした。分子の質量は$m$ですから、あとは速度について考えてみましょう。

問題文にもあるとおり、分子と壁との衝突は弾性衝突となります。はねかえり係数は1ということになりますね？なので、衝突前と衝突後で、分子が運動する向きが逆になるだけで分子の速度は変化しません。よって、衝突前の分子の速度の$x$成分を$v_x$とおいていますから、衝突後の分子の速度は$-v_x$とあらわせます。

よって、衝突による$x$方向の運動量の変化は、衝突後の運動量から衝突前の運動量を引けば求まるので、
$-mv_x-mv_x = -2mv_x$

これより、分子が壁から受けた力積は$-2mv_x$とわかります。よって、作用・反作用の法則より、壁が分子から受けた力積、つまり分子が壁に及ぼした力積は$2mv_x$とわかります（作用・反作用の法則より、同じ大きさで逆向きの力となるため）。

(2)　分子と壁との衝突は弾性衝突で、分子の速度は変化しないということは、分子はつねに$v_x$という一定の速度で運動していることになります。

壁に衝突してから再び同じ壁に衝突するには、壁までの距離を往復しなければいけません。1辺の長さが$L$でしたから、これの往復分$2L$の距離を$v_x$の速度で運動するわけなので、（距離）÷（速度）により、$\displaystyle \frac{2L}{v_x}$

(3)　(2)より、$\displaystyle \frac{2L}{v_x}$という時間ごとに1回衝突をすることになるわけですから、時間$t$で衝突する回数を$a$とおくと、次のような比が成り立ちます。
$\displaystyle \frac{2L}{v_x}：1 = t：a$

これを$a$について変形すると、
$\displaystyle a×\frac{2L}{v_x} = t$
$\displaystyle a = t÷\frac{2L}{v_x} = \frac{v_xt}{2L}$

(4)　(1)で1回の衝突で壁に及ぼした力積は$2mv_x$と求めました。時間$t$の間に(3)で求めたとおり、$\displaystyle \frac{v_xt}{2L}$回の衝突があるわけなので、
$\displaystyle 2mv_x×\frac{v_xt}{2L} = \frac{mv_x^2t}{L}$

(5)　力積は過去の「運動量と力積」の問題の解説でもふれているとおり、力の大きさとその力を加えた時間との積（かけ合わせた値）でもあります。よって、(4)で求めた値は$ft$の値でもあります。

つまり、$\displaystyle ft = \frac{mv_x^2t}{L}$
この両辺を$t$で割って、$\displaystyle f = \frac{mv_x^2}{L}$

[2]

(6)　分子は$y$成分や$z$成分だけに速く運動しているというわけではなく、どの方向に対しても同じ速度で運動しています。なので、速度の$y$成分の2乗の平均も、速度の$z$成分の2乗の平均も$\overline{v_x^2}$です。

そして、三平方の定理を使って考えると、分子の速度の2乗は、$x$成分，$y$成分，$z$成分それぞれの速度の2乗をたしたものと等しいです。よって、
$\overline{v^2} = \overline{v_x^2}+\overline{v_x^2}+\overline{v_x^2} = 3\overline{v_x^2}$

(7)　(5)より、分子1個から壁が受ける力は$\displaystyle \frac{mv_x^2}{L}$です。よって、$N$個の分子から壁が受ける力は$\displaystyle N\frac{m\overline{v_x^2}}{L}$です。
さらに(6)より、$\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}$なので、$\displaystyle \overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$だから、
$\displaystyle F = N\frac{m\overline{v_x^2}}{L} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}$

(8)　(7)にて壁が$N$個の分子から受ける力が求まりました。圧力は（力）÷（面積）で求めることができます。1辺の長さが$L$の壁の面積は$L^2$ですので、これを使って割り算すると、
$\displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}÷L^2 = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}$

問題文にて$V = L^3$と示されていましたから、$L^3$を$V$に置き換えると、
$\displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$

(9)　(8)で求めた圧力の式の両辺に$V$をかけると、「$pV$ = …」という形になります。これは状態方程式$PV = nRT$の左辺と同じ形ですね？そこで、この2つの式を比べてみます。

$\displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$の両辺に$V$をかけると
$\displaystyle pV = \frac{Nm\overline{v^2}}{3}$
状態方程式より、$pV = nRT$だから、$\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3} = nRT$

ちなみに、問題文にあるとおり、$N = nN_0$、つまり$\displaystyle n = \frac{N}{N_0}$なので、
$\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3} = \frac{N}{N_0}RT$
両辺を$N$で割って、$\displaystyle \frac{m\overline{v^2}}{3} = \frac{1}{N_0}RT$
両辺を3倍すると、$\displaystyle m\overline{v^2} = \frac{3}{N_0}RT$
そして、両辺を2で割ると、$\displaystyle \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}\frac{1}{N_0}RT$

これが分子1個の運動エネルギーの量になるので、分子$N$個の運動エネルギーはその$N$倍より、$\displaystyle \frac{3}{2}\frac{N}{N_0}RT$です。

(10)　(9)の解説にもあるとおり、分子1個の運動エネルギーの量は$\displaystyle \frac{3}{2}\frac{1}{N_0}RT$です。問題文には気体の温度と分子1個の運動エネルギーの平均の量が与えられていますから、この式を$k$を使った形に変形することを考えましょう。

すると、$\displaystyle \frac{3}{2}\frac{1}{N_0}RT = \frac{3}{2}\frac{R}{N_0}T = \frac{3}{2}kT$とできます。

$\displaystyle ∴\frac{3}{2}k(3.00×10^2) = 6.21×10^{-21}$
これを解くと、$k = 1.38×10^{-23}$[J/K]

[3]

(11)　(10)で考えたとおり、分子1個の運動エネルギーについて、$\displaystyle \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$とわかります。気体の温度が高くなればなるほど、分子の速度は速いということになります。

グラフを見ると、Bのほうが、大きい速度の値をもつ分子が多く分布していることがわかります。ということは、状態Bのほうが温度が高いということになりますから、$T_A＜T_B$ということになります。

答え．
(1)　$2mv_x$　　　(2)　$\displaystyle \frac{2L}{v_x}$
(3)　$\displaystyle \frac{v_xt}{2L}$回　　　(4)　$\displaystyle \frac{mv_x^2t}{L}$
(5)　$\displaystyle f = \frac{mv_x^2}{L}$　　　(6)　$\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}$
(7)　$\displaystyle F = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L}$　　　(8)　$\displaystyle p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$
(9)　$\displaystyle \frac{3}{2}\frac{N}{N_0}RT$　　　(10)　$k = 1.38×10^{-23}$[J/K]
(11)　(c)

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