高校数学（３・Ｃ）の問題演習
令和6年12月22日
区分求積法
※（ ）内の大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること。ただし、根号はルートの記号（√）を入力すること。
- 根号が入る場合は、たとえば「ルート2」なら√2のように√につづけて数字を入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。
- a，b，$π$など文字の係数が分数の場合、たとえばaの係数が5分の3なら3a/5、$π$の係数が2分のa+3（分母が2で分子がa+3）なら(a+3)$π$/2のように、分子のところに文字を含めること。
（１）次の極限値を求めよ。
（東京理科大）
① \( \displaystyle L_1 = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+…+(n+n)^a}{1^a+2^a+…+n^a} \)（$a＞0$）
② \( \displaystyle L_2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}\sqrt[n] {{}_{4n} \mathrm{P}_{2n}} \)
（２）半径1の円に内接する正$n$角形が$xy$平面上にある。ひとつの辺$AB$が$x$軸に含まれている状態から始めて、正$n$角形を図のように$x$軸上をすべらないようにころがし、再び点$A$が$x$軸に含まれる状態まで続ける。点$A$が描く軌跡の長さを$L(n)$とする。
（北海道大）
① $L(6)$を求めよ。
② \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} L(n) \)を求めよ。
