高校数学（３・Ｃ）の問題演習
令和7年6月22日
同一平面上にある空間ベクトル
※（ ）内の大学の入試問題です。（すべて半角のみで入力し、分数は、たとえば分母が4で分子が1なら1/4のように、(分子)/(分母)の形で入力すること）
（１）空間内に、同一平面上にない4点$O$，$A$，$B$，$C$がある。$s$，$t$を\( 0＜s＜1 \)，\( 0＜t＜1 \)をみたす実数とする。線分$OA$を1：1に内分する点を$A_0$，線分$OB$を1：2に内分する点を$B_0$，線分$AC$を\( s：(1-s) \)に内分する点を$P$，線分$BC$を\( t：(1-t) \)に内分する点を$Q$とする。さらに4点$A_0$，$B_0$，$P$，$Q$が同一平面上にあるとする。
（大阪大）
① $t$を$s$を用いて表せ。
② \( |\overrightarrow{OA}| \) = 1，\( |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| \) = 2，$∠AOB$ = 120°，$∠BOC$ = 90°，$∠COA$ = 60°，$∠POQ$ = 90°であるとき、$s$の値を求めよ。
（２）四角形$ABCD$を底辺とする四角錐$OABCD$は\( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} \)を満たしており、0と異なる4つの実数$p$，$q$，$r$，$s$に対して4点$P$，$Q$，$R$，$S$を
\( \overrightarrow{OP} = p\overrightarrow{OA} \)，\( \overrightarrow{OQ} = q\overrightarrow{OB} \)，\( \overrightarrow{OR} = r\overrightarrow{OC} \)，\( \overrightarrow{OS} = s\overrightarrow{OD} \)
によって定める。このとき$P$，$Q$，$R$，$S$が同一平面上にあれば
\( \displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{1}{q}+\frac{1}{s} \)が成立することを示せ。
（京都大）
令和6年12月22日
区分求積法
※（ ）内の大学の入試問題です。
※入力は次の指示にしたがってください。
- すべて半角で入力すること。ただし、根号はルートの記号（√）を入力すること。
- 根号が入る場合は、たとえば「ルート2」なら√2のように√につづけて数字を入力すること。
- 分数は、たとえば3分の1なら1/3のように、(分子)/(分母)の形で入力すること。
- 累乗は、たとえば「aの2乗」ならa^2のように、「○乗」の部分（指数）を^を使って入力すること。
- a，b，$π$など文字の係数が分数の場合、たとえばaの係数が5分の3なら3a/5、$π$の係数が2分のa+3（分母が2で分子がa+3）なら(a+3)$π$/2のように、分子のところに文字を含めること。
（１）次の極限値を求めよ。
（東京理科大）
① \( \displaystyle L_1 = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+…+(n+n)^a}{1^a+2^a+…+n^a} \)（$a＞0$）
② \( \displaystyle L_2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}\sqrt[n] {{}_{4n} \mathrm{P}_{2n}} \)
（２）半径1の円に内接する正$n$角形が$xy$平面上にある。ひとつの辺$AB$が$x$軸に含まれている状態から始めて、正$n$角形を図のように$x$軸上をすべらないようにころがし、再び点$A$が$x$軸に含まれる状態まで続ける。点$A$が描く軌跡の長さを$L(n)$とする。
（北海道大）
① $L(6)$を求めよ。
② \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} L(n) \)を求めよ。
