この問題のポイント
積分したい関数について、
別の関数とその微分形であらわせるとき
べき乗や根号の中身が複雑なとき
は置換積分法が使える！
（１）見てのとおり、$I(a)$は積分する式がややこしい形になっているので、すんなりと計算ができなさそうです。よく見ると、分母はべき乗になっていて中身が\( a^2-2a\cos{θ}+1 \)というちょっとややこしい式になっていますが、これを$θ$で微分すると\( 2a\sinθ \)となり、分子の2倍である式になります。
そうすると、$I(a)$は\( a^2-2a\cos{θ}+1 \)とその微分形を使ってあらわすことができそうな式といえますが、このように、ある関数とその微分形を使ってあらわせるときや、べき乗や根号の中身が複雑な式のときは置換積分法を使うことができます。置換積分法とは、関数の一部を文字に置き換えて積分する方法です。
この問題の場合、\( t = a^2-2a\cos{θ}+1 \)とすると、両辺を$θ$で微分すると、
\( \displaystyle \frac{dt}{dθ} = 2a\sinθ \)
そして、$I(a)$はこのようにあらわすことができます。
\begin{eqnarray} &&I(a) = \int_0^π \frac{\frac{1}{2}・\frac{dt}{dθ}}{t^{\frac{3}{2}}}dθ\\ &&= \int_0^π t^{-\frac{3}{2}}・\frac{1}{2}\frac{dt}{dθ}dθ\\ &&= \frac{1}{2}\int_0^π t^{-\frac{3}{2}}dt\\ &&= \frac{1}{2}\left[-2t^{-\frac{1}{2}}\right]_0^π\\ &&= \left[-t^{-\frac{1}{2}}\right]_0^π \end{eqnarray}
置換することでとてもシンプルな式にすることができました。ここで、$t$をもとの式に戻します。これぐらいシンプルだと、もとの式に戻しても計算ができそうですね。
\begin{eqnarray} &&\left[-t^{-\frac{1}{2}}\right]_0^π\\ &&= \left[-(a^2-2a\cos{θ}+1)^{-\frac{1}{2}}\right]_0^π\\ &&= \left[-\frac{1}{\sqrt{a^2-2a\cos{θ}+1}}\right]_0^π\\ &&= -\frac{1}{\sqrt{a^2+2a+1}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{a^2-2a+1}}\right)\\ &&= -\frac{1}{\sqrt{a^2+2a+1}}+\frac{1}{\sqrt{a^2-2a+1}}\\ &&= -\frac{1}{|a+1|}+\frac{1}{|a-1|} \end{eqnarray}
問題文に\( a＞1 \)とあったので、\( a+1＞0 \)，\( a-1＞0 \)だから、絶対値記号はそのままはずせます。よって、
\( \displaystyle I(a) = -\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1} \)
（２）さっきの（１）で求めたものを利用して、
\begin{eqnarray} &&\sum_{a=2}^k I(a)\\ &&= \sum_{a=2}^k \left(-\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1}\right)\\ &&= \left(-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2-1}\right)+\left(-\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3-1}\right)\\ &&~~~~+\left(-\frac{1}{4+1}+\frac{1}{4-1}\right)+…+\left(-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k-1}\right)\\ &&= \left(-\frac{1}{3}+1\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right)+…+\left(-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k-1}\right)\\ &&= 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} &&\sum_{a=2}^k I(a)\\ &&= \sum_{a=2}^k \left(-\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1}\right)\\ &&= \left(-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2-1}\right)+\left(-\frac{1}{3+1}+\frac{1}{3-1}\right)\\ &&~~~~+\left(-\frac{1}{4+1}+\frac{1}{4-1}\right)+…\\ &&~~~~+\left(-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k-1}\right)\\ &&= \left(-\frac{1}{3}+1\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right)\\ &&~~~~+…+\left(-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k-1}\right)\\ &&= 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray}
よって、\(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty I(n) \)
\(\displaystyle = \lim_{k \to \infty} \sum_{a=2}^k I(a) \)
\(\displaystyle = \lim_{k \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \)
\(\displaystyle = 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
答え．
（１）\( \displaystyle I(a) = -\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1} \)
（２）\(\displaystyle \sum_{n=2}^\infty I(n) = \frac{3}{2} \)