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この問題のポイント

（１）$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$となるので、

$$\begin{eqnarray} &&f'(x)\\ &&= (x)'e^{\frac{x}{2}}+x(e^{\frac{x}{2}})'\\ &&= e^{\frac{x}{2}}+x・\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\\ &&= \left(1+\frac{1}{2}x\right)e^{\frac{x}{2}}\\ \end{eqnarray}$$

これより、
$\displaystyle f'(2) = \left(1+\frac{1}{2}・2\right)e^{\frac{2}{2}} = 2e$

$$\begin{eqnarray} &&f''(x)\\ &&= \left\{\left(1+\frac{1}{2}x\right)e^{\frac{x}{2}}\right\}'\\ &&= \left(1+\frac{1}{2}x\right)'e^{\frac{x}{2}}+\left(1+\frac{1}{2}x\right)(e^{\frac{x}{2}})'\\ &&= \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}+\left(1+\frac{1}{2}x\right)・\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\\ &&= \left(1+\frac{1}{4}x\right)e^{\frac{x}{2}}\\ \end{eqnarray}$$

これより、
$\displaystyle f''(2) = \left(1+\frac{1}{4}・2\right)e^{\frac{2}{2}} = \frac{3}{2}e$

（２）$y = xe^{\frac{x}{2}}$とすると、その逆関数は$x = ye^{\frac{y}{2}}$となりますが、これを$y$ = …の形にすることはできません。ということは、（１）のように微分していくことはできませんので、このときは逆関数の微分を利用します。

この考え方を利用して、$y = g(x)$とすると、$x = f(y)$であり、$\displaystyle \frac{dx}{dy} = f'(y)$ですから、
$\displaystyle g'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{f'(y)}$
$f(2) = 2e^{\frac{2}{2}} = 2e$より、$x = 2$のとき$y = 2e$となるので、
$\displaystyle g'(2e) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2e}$

そして、$g''(x)$については、$\displaystyle \frac{1}{f'(y)}$を微分することになるので、

$g''(x)$
$\displaystyle = -\frac{\{f'(y)\}'}{\{f'(y)\}^2}・\frac{dy}{dx}$
$\displaystyle = -\frac{f''(y)}{\{f'(y)\}^2}・\frac{1}{f'(y)}$
$\displaystyle = -\frac{f''(y)}{\{f'(y)\}^3}$

よって、$g''(2e)$は
$\displaystyle -\frac{f''(2)}{\{f'(2)\}^3} = -\frac{\frac{3}{2}e}{(2e)^3} = -\frac{\frac{3}{2}e}{8e^3} = -\frac{3}{16e^2}$

（別解）

$y = xe^{\frac{x}{2}}$の逆関数は$x = ye^{\frac{y}{2}}$であり、$\displaystyle \frac{dx}{dy} = \left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}$なので、
$\displaystyle g'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}}$

$x = ye^{\frac{y}{2}}$において、$x = 2e$のとき$y = 2$となるので、
$\displaystyle g'(2e) = \frac{1}{\displaystyle\left(1+\frac{1}{2}・2\right)e^{\frac{2}{2}}} = \frac{1}{2e}$

そして、$g''(x)$
$\displaystyle = \frac{d}{dx}\left\{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}}\right\}$
$\displaystyle = -\frac{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}'}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}^2}・\frac{dy}{dx}$
$\displaystyle = -\frac{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}'}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}^2}・\frac{1}{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}}$
$\displaystyle = -\frac{\left(1+\frac{1}{4}y\right)e^{\frac{y}{2}}}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}^3}$

∴$g''(2e)$
$\displaystyle = -\frac{\left(1+\frac{1}{4}・2\right)e^{\frac{2}{2}}}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}・2\right)e^{\frac{2}{2}}\right\}^3}$
$\displaystyle = -\frac{\frac{3}{2}e}{(2e)^3}$
$\displaystyle = -\frac{\frac{3}{2}e}{8e^3}$
$\displaystyle = -\frac{3}{16e^2}$

答え．
（１）$f'(2) = 2e$，$\displaystyle f''(2) = \frac{3}{2}e$
（２）$\displaystyle g'(2e) = \frac{1}{2e}$，$\displaystyle g''(2e) = -\frac{3}{16e^2}$

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