この問題のポイント
yをxで微分するよりも、xをyで微分するほうがラクな場合やy = f(x)の形にそもそもできない場合は逆関数の微分が有効！
（１）\( \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)となるので、
\begin{eqnarray} &&f'(x)\\ &&= (x)'e^{\frac{x}{2}}+x(e^{\frac{x}{2}})'\\ &&= e^{\frac{x}{2}}+x・\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\\ &&= \left(1+\frac{1}{2}x\right)e^{\frac{x}{2}}\\ \end{eqnarray}
これより、
\( \displaystyle f'(2) = \left(1+\frac{1}{2}・2\right)e^{\frac{2}{2}} = 2e \)
\begin{eqnarray} &&f''(x)\\ &&= \left\{\left(1+\frac{1}{2}x\right)e^{\frac{x}{2}}\right\}'\\ &&= \left(1+\frac{1}{2}x\right)'e^{\frac{x}{2}}+\left(1+\frac{1}{2}x\right)(e^{\frac{x}{2}})'\\ &&= \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}+\left(1+\frac{1}{2}x\right)・\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\\ &&= \left(1+\frac{1}{4}x\right)e^{\frac{x}{2}}\\ \end{eqnarray}
これより、
\( \displaystyle f''(2) = \left(1+\frac{1}{4}・2\right)e^{\frac{2}{2}} = \frac{3}{2}e \)
（２）\( y = xe^{\frac{x}{2}} \)とすると、その逆関数は\( x = ye^{\frac{y}{2}} \)となりますが、これを$y$ = …の形にすることはできません。ということは、（１）のように微分していくことはできませんので、このときは逆関数の微分を利用します。
\( y = f(x) \)の逆関数は\( x = f(y) \)であり、これを微分すると、
\( \displaystyle 1 = \frac{df(y)}{dy}・\frac{dy}{dx} \)
よって、\( \displaystyle 1 = \frac{dx}{dy}・\frac{dy}{dx} \)より、
\( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} \)
この考え方を利用して、\( y = g(x) \)とすると、\( x = f(y) \)であり、\( \displaystyle \frac{dx}{dy} = f'(y) \)ですから、
\( \displaystyle g'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{f'(y)} \)
\( f(2) = 2e^{\frac{2}{2}} = 2e \)より、\( x = 2 \)のとき\( y = 2e \)となるので、
\( \displaystyle g'(2e) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{2e} \)
そして、$g''(x)$については、\( \displaystyle \frac{1}{f'(y)} \)を微分することになるので、
$g''(x)$
\( \displaystyle = -\frac{\{f'(y)\}'}{\{f'(y)\}^2}・\frac{dy}{dx} \)
\( \displaystyle = -\frac{f''(y)}{\{f'(y)\}^2}・\frac{1}{f'(y)} \)
\( \displaystyle = -\frac{f''(y)}{\{f'(y)\}^3} \)
よって、$g''(2e)$は
\( \displaystyle -\frac{f''(2)}{\{f'(2)\}^3} = -\frac{\frac{3}{2}e}{(2e)^3} = -\frac{\frac{3}{2}e}{8e^3} = -\frac{3}{16e^2} \)
（別解）
\( y = xe^{\frac{x}{2}} \)の逆関数は\( x = ye^{\frac{y}{2}} \)であり、\( \displaystyle \frac{dx}{dy} = \left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}} \)なので、
\( \displaystyle g'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}} \)
\( x = ye^{\frac{y}{2}} \)において、\( x = 2e \)のとき\( y = 2 \)となるので、
\( \displaystyle g'(2e) = \frac{1}{\displaystyle\left(1+\frac{1}{2}・2\right)e^{\frac{2}{2}}} = \frac{1}{2e} \)
そして、$g''(x)$
\( \displaystyle = \frac{d}{dx}\left\{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}}\right\} \)
\( \displaystyle = -\frac{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}'}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}^2}・\frac{dy}{dx} \)
\( \displaystyle = -\frac{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}'}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}^2}・\frac{1}{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}} \)
\( \displaystyle = -\frac{\left(1+\frac{1}{4}y\right)e^{\frac{y}{2}}}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}y\right)e^{\frac{y}{2}}\right\}^3} \)
∴$g''(2e)$
\( \displaystyle = -\frac{\left(1+\frac{1}{4}・2\right)e^{\frac{2}{2}}}{\left\{\left(1+\frac{1}{2}・2\right)e^{\frac{2}{2}}\right\}^3} \)
\( \displaystyle = -\frac{\frac{3}{2}e}{(2e)^3} \)
\( \displaystyle = -\frac{\frac{3}{2}e}{8e^3} \)
\( \displaystyle = -\frac{3}{16e^2} \)
答え．
（１）\( f'(2) = 2e \)，\( \displaystyle f''(2) = \frac{3}{2}e \)
（２）\( \displaystyle g'(2e) = \frac{1}{2e} \)，\( \displaystyle g''(2e) = -\frac{3}{16e^2} \)