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この問題のポイント

部分積分法とは、次の公式を使って積分することです。

$\displaystyle \int f(x)g'(x)dx$
$\displaystyle = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
（不定積分）

$\displaystyle \int_a^b f(x)g'(x)dx$
$\displaystyle = \left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx$
（定積分）

つまり、２つの関数のうちの片方を微分形とみなして計算を進めるというわけです。

この積分法が有効なパターンの一つが、今回の問題にあるような、

（整関数）×（指数関数）のパターンと、（整関数）×（三角関数）のパターン

です。指数関数や三角関数のほうを微分形とみなせば、公式を使うときに右辺で整関数のほうを微分して次数を下げることになるんで、簡単な積分にすることができるからです。実際の問題でそれを確認してみましょう。

（１）$e^x$を微分形とみなします。ただし、指数関数$e^x$は、微分しても$e^x$でしたね？ということで、もとの形は$e^x$ですから、

$\displaystyle \int_0^1 x・e^xdx$
$\displaystyle = \int_0^1 x・(e^x)'dx$

$x$は微分すると1になりますから、
$\displaystyle \left[x・e^x\right]_0^1-\int_0^1 e^xdx$
$\displaystyle = 1×e^1-0-\left[e^x\right]_0^1$

これより、$e-(e^1-e^0) = 1$

（２）$\sin{x}$を微分形とみなします。何を微分すれば$\sin{x}$となるでしょう？

三角関数で、$y = \cos{x}$を微分すると$y' = -\sin{x}$となるのがありましたね？ただし、問題にあるのは、$\sin{x}$であって、$-\sin{x}$ではありません。符号が逆なわけですね。ということで、$-\cos{x}$を微分して$\sin{x}$になったとすれば、

$\displaystyle \int_0^π x・\sin{x}dx$
$\displaystyle = \int_0^π x・(-\cos{x})'dx$

さっきと同じように、$x$は微分すると1になりますから、
$\displaystyle \left[-x・\cos{x}\right]_0^π+\int_0^π \cos{x}dx$
$\displaystyle = -π×(-1)+0+\left[\sin{x}\right]_0^π$

よって、$π+(0-0) = π$

答え．　（１）1　　　（２）$π$