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この問題のポイント

$\{a_n\}$と$\{b_n\}$をもう少し書き出してみて、共通するものがどんな数なのかを実際に見てみましょう。

$\{a_n\}$ = 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61,…
$\{b_n\}$ = 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61,…

共通するものは、16,31,46,61,…などです。
これを見ると、まず初項は16だということはわかりますが、それぞれの項の差をとってみると、15になっています。

ちょうど、$\{a_n\}$の公差は3、$\{b_n\}$の公差は5の等差数列ですので、この15は$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の公差の最小公倍数ですね。
よって、$\{c_n\}$とは、初項16、公差15の等差数列と考えられます。初項が$a$、公差が$d$の等差数列の一般項は、\( a+(n-1)・d \)です。

それを使って表すと、
\( 16+(n-1)・15 \)
\( = 15n+1 \)
すなわち、\( c_n = 15n+1 \)です。

（別解）

$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めて、それを利用するという方法もあります。

さっき書いた、等差数列の一般項の公式を利用すると、それぞれの一般項は、
\( a_n = 7+(n-1)・3 = 3n+4 \)（←初項7、公差3なので）
\( b_n = 6+(n-1)・5 = 5n+1 \)（←初項6、公差5なので）

ここで、$\{a_n\}$の第$x$項と$\{b_n\}$の第$y$項が共通しているとしましょう。すると、

\( 3x+4 = 5y+1 \)
という等式が成り立ちます。この$x$や$y$がどんな数なのかがわかれば、もともとの数列の何番目を見ればよいのかがわかるようになり、考えやすくなります。

今ちょうど導き出した等式を変形させていきましょう。

\( 3x+4 = 5y+1 \)
\( 3x+3+1 = 5y+1 \)
\( 3(x+1) = 5y \)
ここで、$x$と$y$はもともとは整数だった（何番目の項かを示す数なので）はずですから、この式より、$x+1$は5の倍数で、$y$は3の倍数だということになります。

3の倍数なので、\( y = 3k \)（kは自然数）とおくと、$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の共通項は、$\{b_n\}$の第$3k$項だということになるので、

$b_{3k}$
\( = 5・3k+1 \)
\( = 15k+1 \)

これが$\{c_n\}$となるわけですから、
\( c_n = 15n+1 \)となるわけです。

答え．　\( c_n = 15n+1 \)