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この問題のポイント

n進法では1の位、nの位、n²の位、n³の位、…という位取り！
小数だと小数第1位は1/nの位、小数第2位は1/n²の位、小数第3位は1/n³の位、…となる！

$n$個の数字で数を数え上げていく方式を$n$進法といいます。$n$進法で表している場合は、その数の右下に($n$)と書く必要があります。たとえば、ふだんの生活で使っている数字は0～9までの10個の数字を使っているので10進法であらわされているといえます。この10進法の数を例にとって少し考えてみましょう。

たとえば、453という数字は百の位が4、十の位が3、一の位が5なので、400+30+5といえます。これは次のように言い換えることができます。

453
= 400+30+5
= 4×100+3×10+5
$ = 4×10^2+3×10+5 $

ほかにも、3869であれば、3000+800+60+9ですから、$ 3×10^3+8×10^2+6×10+9 $とおけます。
つまり、10進法では、1の位、10の位、$10^2$の位、$10^3$の位、$10^4$の位、…と位取りがされていることになります。

よって、$n$進法では1の位、$n$の位、$n^2$の位、$n^3$の位、$n^4$の位、…という位取りをしていることになります。これを前提として問題を解いていきましょう。

（１）$N$は5進法で表すと、$abc$₍₅₎ですから、
$ N = a×5^2+b×5+c = 25a+5b+c $　…①
また、7進法で表すと、$cab$₍₇₎ですから、
$ N = c×7^2+a×7+b = 49c+7a+b $　…②

①，②より、
$ 25a+5b+c = 49c+7a+b $
$ 4b = 48c-18a $
$ 2b = 24c-9a = 3(8c-3a) $　…③

$a$，$c$は自然数ですから、$3(8c-3a)$は3の倍数といえます。よって、$b$は3の倍数です。さらに、$b$は1以上4以下なんですから、$b = 3$です。これを③に代入すると、

$ 2×3 = 3(8c-3a) $
$ 2 = 8c-3a $
$ 3a = 8c-2 = 2(4c-1) $　…④

$2(4c-1)$は2の倍数、つまり偶数を表しますから、$3a$が偶数になるには$a$が偶数である必要があります。$a$も1以上4以下なので、2か4のいずれかと考えることができます。

[1]$a = 2$の場合

④より、$ 3×2 = 2(4c-1) $
$ 4c-1 = 3 $
$ 4c = 4 $なので$ c = 1 $
$c$は1以上4以下なので、これはその条件に合致します。

[2]$a = 4$の場合

④より、$ 3×4 = 2(4c-1) $
$ 4c-1 = 6 $
$ 4c = 7 $で、1以上4以下の整数でこれを満たすものは存在しません。

以上より、$a$が2，$b$が3，$c$が1なので、$N$ = 231₍₅₎なので、
$ N = 2×5^2+3×5+1 $
= 2×25+3×5+1 = 66₍₁₀₎

（２）8進法で表されているので見た目がいつもとちがっていますが、結局は正の整数が小さい順に並んでいるにすぎません。よって、700番目の数は10進法で700と書く数字ですので、これを8進法で表しましょう。

700
$ = 8^3+188 $
$ = 8^3+2×8^2+60 $
$ = 8^3+2×8^2+7×8+4 $
このようになるので、8進法で表すと1274₍₈₎です。

次に、8進法で表すと4桁になる最小の数ですが、これは1000₍₈₎のことです。1があるのは$8^3$の位ですから、
$ 1000_{(8)}= 8^3 = (2^3)^3 = 2^9 $です。つまり、$2^9$の位になってようやく1があることになるので、2進法で表すと1000000000₍₂₎となります。よって、2進法で表すと10桁です。

最後に、8進法で表すと4桁になる最大の数ですが、これは7777₍₈₎のことです。さっきの、4桁になる最小の数と同じやり方で考えていってもいいのですが、そのやり方だと少し計算に手間がかかりますので、やり方をくふうしてみます。

この7777₍₈₎に1をたすと5桁になるわけで、その数は10000₍₂₎です。これを2進法で表すと、
$ 10000_{(8)}= 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} $より、さっきの、4桁になる最小の数と同じように考えれば13桁とわかります。

ただし、この数は7777₍₈₎に1をたした数でしたね？なので、7777₍₈₎は12桁です。

（３）$n$進法は小数にもあります。これも10進法を例にとって考えてみましょう。

たとえば、0.547という数字は次のように言い換えることができます。
0.547
= 0.5+0.04+0.007
= 0.1×5+0.01×4+0.001×7
$ \displaystyle = \frac{1}{10}×5+\frac{1}{100}×4+\frac{1}{1000}×7 $
$ \displaystyle = \frac{1}{10}×5+\frac{1}{10^2}×4+\frac{1}{10^3}×7 $

小数第1位から順に$ \displaystyle \frac{1}{10} $の位、$ \displaystyle \frac{1}{10^2} $の位、$ \displaystyle \frac{1}{10^3} $の位、…となっています。このように、$n$進法の小数では小数第1位から順に$ \displaystyle \frac{1}{n} $の位、$ \displaystyle \frac{1}{n^2} $の位、$ \displaystyle \frac{1}{n^3} $の位、…を表すようになっています。

ということは、7進法の小数は小数第1位から順に$ \displaystyle \frac{1}{7} $の位、$ \displaystyle \frac{1}{7^2} $の位、$ \displaystyle \frac{1}{7^3} $の位、…を表すこととなります。これより、
$ \displaystyle \frac{123}{343} = \frac{x_1}{7}+\frac{x_2}{7^2}+\frac{x_3}{7^3}+… $とおきます。

この両辺に7をかけると
$ \displaystyle \frac{123}{49} = x_1+\frac{x_2}{7}+\frac{x_3}{7^2}+… $　…㋐
$ \displaystyle \frac{123}{49} $は2より大きく3より小さいので$x_1 = 2$です。

そして、㋐の式の両辺から2をひくと、
$ \displaystyle \frac{25}{49} = \frac{x_2}{7}+\frac{x_3}{7^2}+… $
この式の両辺に7をかけると
$ \displaystyle \frac{25}{7} = x_2+\frac{x_3}{7}+… $　…㋑
$ \displaystyle \frac{25}{7} $は3より大きく4より小さいので$x_2 = 3$。

㋑の式の両辺から3をひくと、
$ \displaystyle \frac{4}{7} = \frac{x_3}{7}+… $なので$x_3 = 4$
以上より、$ \displaystyle \frac{123}{343} $を7進法の小数で表すと0.234₍₇₎です。

答え．
（１）
$N$ = 66₍₁₀₎
（２）
ア　1274　　　イ　10　　　ウ　12
（３）
0.234₍₇₎