三角比の相互関係－中学・高校の問題演習ができるホームページ

この問題のポイント

sin、cos、tanのどれか1つがわかっていればほかの2つも求めることができる！
三角比の角は45°までの角度であらわすことができる！

（１）sin、cos、tanのどれか1つの値がわかっていれば、ほかの2つの値を下にある公式を使って計算することができます。

1． $\displaystyle \tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ}$
2． $\cos^2θ+\sin^2θ = 1$
3． $\displaystyle 1+\tan^2θ = \frac{1}{\cos^2θ}$

※証明

1．について、図の左側にある直角三角形において、
$\displaystyle \tanθ = \frac{a}{b}$
そして、 $\displaystyle \frac{\sinθ}{\cosθ} = \sinθ÷\cosθ$ なので、
$\displaystyle \frac{a}{c}÷\frac{b}{c} = \frac{a}{c}×\frac{c}{b} = \frac{a}{b}$
同じ値となるので、 $\displaystyle \tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ}$

2．について、 $\displaystyle \sinθ = \frac{a}{c}$ ， $\displaystyle \cosθ = \frac{b}{c}$ なので、
$\cos^2θ+\sin^2θ$
$\displaystyle = \left(\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{a}{c}\right)^2$
$\displaystyle = \frac{b^2}{c^2}+\frac{a^2}{c^2}$
$\displaystyle = \frac{b^2+a^2}{c^2}$

図の左側にある直角三角形において、三平方の定理より、
$b^2+a^2 = c^2$ なので、
$\displaystyle \frac{b^2+a^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$

よって、 $\cos^2θ+\sin^2θ = 1$ が成り立ち、この両辺を $\cos^2θ$ で割ると、
$\displaystyle 1+\frac{\sin^2θ}{\cos^2θ} = \frac{1}{\cos^2θ}$
$\displaystyle 1+\left(\frac{\sinθ}{\cosθ}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2θ}$
$\displaystyle 1+\tan^2θ = \frac{1}{\cos^2θ}$ と3．の式ができる

さて、問題を見てみると、 $\sinθ$ の値がわかっているので、2．の式を利用すると $\cosθ$ の値は、

$\displaystyle \cos^2θ+\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1$
$\displaystyle \cos^2θ+\frac{1}{9} = 1$
$\displaystyle \cos^2θ = \frac{8}{9}$
$θ$ は鋭角なので、 $\cosθ＞0$ のため、 $\displaystyle \cosθ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

1．の式を利用して、 $\tanθ$ は、
$\displaystyle \frac{\sinθ}{\cosθ}$
$\displaystyle = \frac{1}{3}÷\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\displaystyle = \frac{1}{3}×\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

（２）さっきの（１）の解説にて赤枠で囲んだ部分にある式を利用します。3．の式を利用すると、

$\displaystyle 1+\tan^2x = \frac{1}{\cos^2x}$
$\displaystyle \frac{1}{\cos^2x} = 1+\tan^2x$
$\displaystyle \cos^2x = \frac{1}{1+\tan^2x}$
$0°＜x＜90°$ より、 $\cos{x}＞0$ なので、 $\displaystyle \cos{x} = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}$

そして、1．の式を変形すると、 $\tanθ・\cosθ = \sinθ$ より、
$\displaystyle \sin{x} = \tan{x}・\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}$
$\displaystyle = \frac{\tan{x}}{\sqrt{1+\tan^2x}}$

（３）まず $\sin{(90°-θ)}$ のほうですが、これについては下の式のように変換することができます。

$\sin{(90°-θ)} = \cosθ$
$\cos{(90°-θ)} = \sinθ$
$\displaystyle \tan{(90°-θ)} = \frac{1}{\tanθ}$

※証明

（１）の解説にあった2つの三角形を使って証明できる。左側にある三角形を、 $90°-θ$ の角のほうが下になるように倒したのが右側の三角形である。

図の右側の三角形より、 $\displaystyle \sin{(90°-θ)} = \frac{b}{c}$
これは左側の三角形における $\cosθ$ に等しい。

図の右側の三角形より、 $\displaystyle \cos{(90°-θ)} = \frac{a}{c}$
これは左側の三角形における $\sinθ$ に等しい。

図の右側の三角形より、 $\displaystyle \tan{(90°-θ)} = \frac{b}{a}$
これは左側の三角形の $\tanθ$ の逆数である。

よって、 $\sin{(90°-θ)}$ を求めるには $\cosθ$ を求めたらよいということになります。問題では、 $\sinθ$ の値が与えられていましたから、 $\cos^2θ+\sin^2θ = 1$ より、

$\displaystyle \cos^2θ+\left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1$
$\displaystyle \cos^2θ+\frac{144}{169} = 1$
$\displaystyle \cos^2θ = \frac{25}{169}$
$0°≦θ≦90°$ より、 $\displaystyle \cosθ＞0$ なので、 $\displaystyle \cosθ = \frac{5}{13}$ と求まるので、 $\displaystyle \sin{(90°-θ)} = \frac{5}{13}$

次に $\tan{(180°-θ)}$ のほうですが、これについては下の式のように変換することができます。

$\sin{(180°-θ)} = \sinθ$
$\cos{(180°-θ)} = -\cosθ$
$\tan{(180°-θ)} = -\tanθ$

※証明

上の図のように半径1の円のところに $θ$ と $180°-θ$ の角をとると、座標は上の図に示したとおりになる。

すると、 $\displaystyle \sinθ = \frac{y}{1} = y$ ， $\displaystyle \sin{(180°-θ)} = \frac{y}{1} = y$
よって、 $\sin{(180°-θ)} = \sinθ$

$\displaystyle \cosθ = \frac{x}{1} = x$ ， $\displaystyle \cos{(180°-θ)} = \frac{-x}{1} = -x$
よって、 $\cos{(180°-θ)} = -\cosθ$

$\displaystyle \tanθ = \frac{y}{x}$ ， $\displaystyle \tan{(180°-θ)} = \frac{y}{-x} = -\frac{y}{x}$
よって、 $\tan{(180°-θ)} = -\tanθ$

よって、 $\tan{(180°-θ)}$ を求めるには $\tanθ$ を求めたらよいということになります。 $\sinθ$ の値は与えられていますし、 $\cosθ$ もさっき求めましたから、

$\displaystyle \tanθ = \frac{\sinθ}{\cosθ}$
$\displaystyle = \frac{12}{13}÷\frac{5}{13}$
$\displaystyle = \frac{12}{13}×\frac{13}{5} = \frac{12}{5}$
$\displaystyle ∴\tan{(180°-θ)} = -\frac{12}{5}$

答え．
（１）
$\displaystyle \cosθ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ ， $\displaystyle \tanθ = \frac{\sqrt{2}}{4}$
（２）
$\displaystyle \cos{x} = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2x}}$ ， $\displaystyle \sin{x} = \frac{\tan{x}}{\sqrt{1+\tan^2x}}$
（３）
ア　5　　　イ　13
ウ　-12　　　エ　5