この問題のポイント
集合の記号とその意味をしっかり覚えよう！
まず、この問題を解くうえで、$A$，$B$，$C$それぞれがどんな集合かというのをつかまないといけません。そこをチェックしていきましょう。
$A$，$B$，$C$それぞれ{ }で囲われたものの書き方をしていますが、縦棒で仕切って、左側に文字を置き、右側にその文字が満たす条件を書くことで、「この条件を満たす要素の集合」をあらわすことができます。
また、「\( \in \)」という記号が使われていますが、\( a \in ア \)と書くと、「$a$は集合アに属する（＝集合アの中に$a$という要素がある）」という意味になります。
よって、\( x \in U \)とは、「$x$は集合$U$に属する」ということなので、$x$は20以下の自然数ということになります。そして、$A$，$B$，$C$それぞれについてほかの条件もついていますから、その条件をもとに数字をしぼると、
$A$ = {1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20}
$B$ = {3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18}
$C$ = {2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20}
と言い換えることができます。
では、(a)～(d)の条件の検討をしていきます。(a)に「\( \subset \)」という記号がありますが、\( ア \subset カ \)と書くと、「集合アは集合カの部分集合である（＝集合アの要素は全部、集合カの要素でもある）」という意味になります。要するに、集合アはそのまま集合カの一部（あるいは全部）になっているということです。
しかし、たとえば$A$の要素である1は$C$の要素となってはいません。5も$A$の要素ですが、$C$の要素ではありません。よって、$A$は$C$の部分集合となってはいませんので、(a)は誤となります。
(b)ですが、「\( \cap \)」という記号があります。\( ア \cap カ \)と書くと、「集合アと集合カの共通集合である（＝集合アにも集合カにも属している）」を意味します。ちなみに、似た記号に「\( \cup \)」がありますが、\( ア \cup カ \)と書くと、「集合アと集合カの和集合である（＝集合アか集合カの少なくとも一方に属している）」を意味します。
そして、「∅」という記号がありますが、これは問題文にあったとおり、空集合、つまり、要素が1つもない集合、要素が存在しない集合という意味です。つまり、(b)が意味していることは、「集合$A$にも集合$B$にも属している要素は1つもない」ということになります。
$A$と$B$について、さきほど数字を書きだしていきましたが、たしかに両方に属しているという数字は1つもありません。よって、(b)は正ということになるので、キに入るのは②です。
(c)について、まず\( A \cup C \)から考えましょう。\( \cup \)は和集合、つまり少なくとも一方に属しているということを表すんですから、
\( A \cup C \) = {1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20}
そして、\( \cap \)は共通集合、つまりどちらにも属しているということを表すんですから、このうち$B$にも属しているものを考えると、
\( (A \cup C) \cap B \) = {6 , 12 , 18}
よって、(c)は正といえます。最後の(d)ですが、\( \overline{A} \)とありますね。\( \overline{ア} \)と書くと、「集合アの補集合である（＝集合アに属していないものたちである）」を意味します。よって、
\( \overline{A} \) = {3 , 6 , 7 , 8 , 9 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 19}
なので、
\( \overline{A} \cap C \) = {6 , 8 , 12 , 14 , 16 , 18}なので、
\( (\overline{A} \cap C) \cup B \) = {3 , 6 , 8 , 9 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18} …Ⓐ
また、\( B \cup C \) = {2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20}なので、
\( \overline{A} \cap (B \cup C) \) = {3 , 6 , 8 , 9 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18} …Ⓑ
ⒶとⒷの集合を比べるとまったく同じなので、(d)は正です。なので、クに入るのは[0]です。
答え．
キ ② ク [0]