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この問題のポイント

最大公約数と最小公倍数ということが書かれてますから、上に挙げた式を使って考えてみましょう。

最大公約数を$G$、最小公倍数を$L$とすると、
\( x = Gx' \)、\( y = Gy' \)
\( L = Gx'y' \)
（$x'$と$y'$は互いに素）

最大公約数と最小公倍数の和が400なんですから、
\( G+L = G+Gx'y' = 400 \)

でも、これだと$x'$，$y'$の値がわからなければならなくなります。ここで、いったんこの式を離れて、\( 3x = 5y \)という式を使って考えていくことにしましょう。

さっきの\( x = Gx' \)、\( y = Gy' \)を\( 3x = 5y \)に代入すると、
\( 3Gx' = 5Gy' \)
両辺から$G$を消去して、\( 3x' = 5y' \)…①

この式から、$3x'$は5の倍数だということがわかります。ただ、3と5は互いに素ですから、$x'$が5の倍数だと判断できます。 よって、ここで\( x' = 5n \)（$n$は自然数）とおくことができます。

これを①に代入して、
\( 3・5n = 5y' \)
\( 5y' = 15n \)
\( y' = 3n \)
つまり、$y'$は3の倍数だといえます。

\( x' = 5n \)，\( y' = 3n \)とわかりましたが、もともと$x'$と$y'$は互いに素なんですから、$n$の値として考えられるのは、\( n = 1 \)しかありえません。
よって、\( x' = 5 \)，\( y' = 3 \)

これより、\( x = 5G \)，\( y = 3G \)
\( L = G・5・3 = 15G \)

最大公約数と最小公倍数の和が400ということをここで利用します。
\( G+L = G+15G = 16G = 400 \)
これを解くと、\( G = 25 \)

最大公約数が25ということがわかりましたから、\( x = 5G \)より、\( x = 5・25 = 125 \)
\( y = 3G \)より、\( y = 3・25 = 75 \)

答え．　　\( x = 125 \)，\( y = 75 \)