この問題のポイント
自分が求める文字の並べ方に至るまで、「一文字目は何の文字があって、二文字目は…」とどんな並べ方があるのかを整理して考えよう！
（１）「うおいあえ」の並べ方が来るまでには、まず一文字目が「あ」と「い」の並べ方が全部出そろわないといけませんね。それでは、その並べ方は、それぞれ何通りあるのでしょう？
まず、一文字目が「あ」の並べ方から考えます。「あ○○○○」という並べ方になるわけですから、「あ」より後ろ４文字をどう並べるかということになります。よって、「あ」以外の４つの文字を並べる順列となります。
４つの文字を並べる順列ですから、求める並べ方は
\( {}_4 \mathrm{P}_4 \)（または\( 4! \)） = 4・3・2・1 = 24通り
一文字目が「あ」の並べ方は24通りあるとわかりました。
一文字目が「い」の並べ方は、「い○○○○」という並べ方なので、さっきと同じように４つの文字を並べる順列ですから、24通りです。
ということは、一文字目が「あ」と「い」の並べ方は24+24 =48通りあるとわかりました。…①
さて、「うおいあえ」が問題に出てました。二文字目が「お」になっています。なので、二文字目が「あ」「い」「え」の並べ方が全部出そろった後に出現することになりますね。
二文字目が「あ」の並べ方は、「うあ○○○」という並べ方になりますから、３つの文字を並べる順列です。計算すると、
\( {}_3 \mathrm{P}_3 \)（または\( 3! \)） = 3・2・1 = 6通り
同じように考えると、「うい○○○」「うえ○○○」の並べ方もそれぞれ6通りです。
よって、二文字目が「あ」「い」「え」の並べ方は、6+6+6 = 18通りあります。
ということは、①と今の計算によって、「うおいあえ」より前には、少なくとも48+18 = 66通りの並べ方があることがわかります。
さらに、そこに「うおあ○○」の並び方も加わります。さっきまでの考え方と同じように考えると、
\( {}_2 \mathrm{P}_2 \)（または\( 2! \)） = 2・1 = 2通りが新たに加わるのですから、結局、66+2 = 68通りの並べ方が「うおいあえ」の前にはあるとなります。
「うおあ○○」の並べ方が出た後は、いよいよ「うおい○○」の並べ方に移りますが、残った文字は、「あ」と「え」だけです。辞書式配列で行くと、先に「あ」が並べられるはずなので、「うおいあえ」は、「うおあ○○」の並べ方が終わった直後と考えられます。
よって、「うおいあえ」は69番目に出てきます。
（２）一番目に「あ」が来る並べ方は（１）より24通りだとわかりました。同じように、一番目に「い」が来るのも、「う」が来るのも、「え」が来るのも、それぞれ24通りです。
24通りの並べ方が4つ出てきましたが、これでも24×4 = 96通りにしかなっていません。なので、100番目の並べ方の一文字目は「お」とわかります。
96通り出た後に、「お○○○○」という並べ方は97番目以降となります。100番目が出てくるまで、少しだけなので、ここからは、97番目から100番目まで書き出して考えていくと、
97番目…「おあいうえ」
98番目…「おあいえう」
99番目…「おあういえ」
100番目…「おあうえい」
これが答えですね。
答え． （１）69番目 （２）「おあうえい」