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この問題のポイント

(1)

   (a)   

波長とは波1個分の長さのことです。この長さを$λ$とおくと、腹が1個のときは半分だけの長さの波にしかならないので、その長さは\( \displaystyle \frac{1}{2}λ \)とおけます。ということは、腹が2個ならば\( \displaystyle \frac{2}{2}λ \)，腹が3個ならば\( \displaystyle \frac{3}{2}λ \)，…とおけることになります。

よって、腹が$n$個ならば、その長さは\( \displaystyle \frac{n}{2}λ \)となります。これが長さ$l$の弦にできているわけですから、
\( \displaystyle l = \frac{n}{2}λ \)

この式を変形すると、
\( nλ = 2l \)
\( \displaystyle λ = \frac{2l}{n} \)

   (b)   

振動数が最も小さい、すなわち波長が最も長い波を基本振動といいます。

   (c)   

弦を伝わる横波の速さは公式があります。

この公式を利用して答えればOKです。

(2)

線密度を求めるので、さっきの赤枠で囲まれた公式が使えそうですね？よって、波の速さと針金Aの張力を求めてみることを考えてみましょう。

針金Aには質量$m$のおもりが付いているので、おもりにかかる重力とつり合っていることになります。
よって、$T = mg$です。

また、波の速さを求める公式には$v = fλ$という公式もありました。さっきの(1)の問題で\( \displaystyle l = \frac{n}{2}λ \)と求めましたが、針金Aには3個の腹のある定常波ができたので、
\( \displaystyle l = \frac{3}{2}λ \)
\( \displaystyle λ = \frac{2}{3}l \)

振動数は$f$と問題文にあるので、波の速さは\( \displaystyle v = f・\frac{2}{3}l \)です。
これらを赤枠で囲まれた公式に代入すると、
\( \displaystyle f・\frac{2}{3}l = \sqrt{\frac{mg}{ρ}} \)
\( \displaystyle \frac{2fl}{3} = \sqrt{\frac{mg}{ρ}} \)

この式を変形すると、
\( \displaystyle \frac{4f^2l^2}{9} = \frac{mg}{ρ} \)…①
\( \displaystyle \frac{ρ}{mg} = \frac{9}{4f^2l^2} \)
\( \displaystyle ρ = \frac{9mg}{4f^2l^2} \)

(3)

新しいおもりの質量を$M$として、さっきの(2)と同じように考えると、針金Aの張力は$Mg$です。

そして、針金Aには1個の腹のある定常波ができたので、\( \displaystyle l = \frac{1}{2}λ \)となるので、\( λ = 2l \)
振動数は$f$のままなので、波の速さは\( v = f・2l \)

よって、\( \displaystyle f・2l = \sqrt{\frac{Mg}{ρ}} \)
\( \displaystyle 4f^2l^2 = \frac{Mg}{ρ} \)…②

②÷①を計算すると、\( \displaystyle \frac{M}{m} = 9 \)
\( M = 9m \)
よって、求めるおもりの質量は$9m$です。

答え．
(1)
   (a)   …\( \displaystyle \frac{2l}{n} \)
   (b)   …基本振動
   (c)   …\( \displaystyle \sqrt{\frac{T}{ρ}} \)
(2)
\( \displaystyle \frac{9mg}{4f^2l^2} \)
(3)
$9m$

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