この問題のポイント
内部エネルギーの公式やボイル・シャルルの法則、熱力学第一法則を、何を求めるかに応じて使い分けられるようにしよう！
問1 この問題では気体の内部エネルギーを求めなければいけません。ここで重要なのは、その気体が「単原子分子」かです。なぜなら、単原子分子の理想気体の内部エネルギーは、次の公式で求めることができるからです。
$n$モルの気体の内部エネルギーを$U$[J]、気体の温度を$T$[K]、とすると、単原子分子の理想気体の内部エネルギーは、
\( \displaystyle U = \frac{3}{2}nRT \)（$R$は気体定数）
この問題では、「物質量$n$の単原子分子の理想気体」と書いてますから、この公式を使うことができますね。状態Aでの物質量は$n$、温度は$T_0$ですから、状態Aでの内部エネルギーを$U_0$とすると、
\( \displaystyle U_0 = \frac{3}{2}nRT_0 \)
よって、$nRT_0$の\( \displaystyle \frac{3}{2} \)倍です。
問2 ここでは温度を求めなければいけませんから、それをとりあえず$T_B$とおきます。$T_0$とは状態Aの温度のことですから、与えられたグラフと、状態Aとの比較を手がかりに求めていくことになります。
まず、状態Aと状態Bについて、グラフからわかることを書きだすと、
状態A…体積：$V_0$、圧力：$p_0$、温度：$T_0$
状態B…体積：$V_0$、圧力：$2p_0$、温度：$T_B$
このように、体積・圧力・温度の関係があるということがわかります。この3つのことがわかっている場合は、ボイル・シャルルの法則を使うことができます。ボイル・シャルルの法則とは、次の公式が成り立つ法則のことでしたね？
圧力を$p$、体積を$V$、温度を$T$とおくと
\( \displaystyle \frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2} \)
（つまり、\( \displaystyle \frac{pV}{T} \)はいつも一定）
この公式にあてはめていくと、
\( \displaystyle \frac{p_0V_0}{T_0} = \frac{2p_0V_0}{T_B} \)
\( \displaystyle \frac{1}{T_0} = \frac{2}{T_B} \)
\( ∴T_B = 2T_0 \)
つまり、状態Bの温度は$T_0$の2倍ということになります。
問3 ここでは熱量を考えなければいけませんから、まず熱力学第一法則を使うことを考えてみましょう。熱力学第一法則は\( Q = \varDelta U+W \)、つまり、熱量（$Q$）は内部エネルギーの増加量（\( \varDelta U \)）と仕事（$W$）をたすことで求められるということです。
問題文にあるとおり、「放出する」熱量を求めるわけですから、この問題で熱力学第一法則を使う場合は、$Q$にマイナスをつける必要があります。次に、仕事について考えましょう。
過程C→Aにおいて、これは定圧変化なので、定圧変化の仕事は\( W = p\varDelta V \)、つまり圧力と体積の変化量をかけることで求まります。状態Cの体積は$2V_0$、状態Aの体積は$V_0$なので、
\( p_0×(V_0-2V_0) = -p_0V_0 \)
次に、内部エネルギーの増加量を考えましょう。問1で見たとおり、この気体は単原子分子の理想気体ですが、その内部エネルギーの増加量は次の公式で求まります。
$n$モルの気体の温度を$T$[K]とすると、
\( \displaystyle \frac{3}{2}nR\varDelta T \)（$R$は気体定数）
状態Cの温度ですが、状態Bからの等温変化とあり、状態Bの温度は問2で$2T_0$と求まっています。そして、状態Aの温度は$T_0$なんですから、内部エネルギーの増加量は
\( \displaystyle \frac{3}{2}nR(T_0-2T_0) = -\frac{3}{2}nRT_0 \)
よって、
\( \displaystyle -Q = -\frac{3}{2}nRT_0-p_0V_0 \) …ア
ここで、\( p_0V_0 \)がじゃまになりますので、気体の状態方程式\( PV = nRT \)を利用して、圧力が$p_0$、体積が$V_0$である状態Aにて方程式を立てると
\( p_0V_0 = nRT_0 \)
これをアに代入すると、
\( \displaystyle -Q = -\frac{3}{2}nRT_0-nRT_0 \)
\( \displaystyle -Q = -\frac{5}{2}nRT_0 \)
\( \displaystyle Q = \frac{5}{2}nRT_0 \)
よって、\( \displaystyle \frac{5}{2} \)倍です。
答え．
問1 ③ 問2 ④ 問3 ⑥